观察下列等式：

第1个等式： $a_1=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$，

第2个等式： $a_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，

第3个等式： $a_3=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$，

第4个等式： $a_4=\frac{1}{2+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2$，

按上述规律，回答以下问题：

（1）请写出第n个等式： $a_n＝$　；

（2） $a_1+a_2+a_3+\dots +a_n＝$　 ．