如图， $▱ABCD$ 中， $\angle ABC$ 的平分线 $BO$ 交边 $AD$ 于点 $O$ ， $OD＝4$ ，以点 $O$ 为圆心， $OD$ 长为半径作 $\odot O$ ，分别交边 $DA$ 、 $DC$ 于点 $M$ 、 $N$ ．点 $E$ 在边 $BC$ 上， $OE$ 交 $\odot O$ 于点 $G$ ， $G$ 为 $\stackrel{⏜}{\mathit{MN}}$ 的中点．

（ 1 ）求证：四边形 $ABEO$ 为菱形；

（ 2 ）已知  $\cos \angle ABC＝\frac{1}{3}$ ，连接 $AE$ ，当 $AE$ 与 $\odot O$ 相切时，求 $AB$ 的长．