已知二次函数 $y＝a{x}^2+bx+c（a＞0）$．

（1）若 $a＝1，b＝3$，且该二次函数的图象过点 $（1，1）$，求c的值；

（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点 $A（x_1,0）$、 $B（x_2,0）$，其中 $x_1＜0＜x_2$、 $\left|x_1\right|＞\left|x_2\right|$，且该二次函数的图象的顶点在矩形 $ABFE$的边 $EF$上，其对称轴与 $x$轴、 $BE$分别交于点 $M、N，BE$与 $y$轴相交于点 $P$，且满足 $\tan \angle ABE=\frac{3}{4}$．

①求关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+bx+c＝0$的根的判别式的值；

②若 $NP＝2BP$，令 $T=\frac{1}{a^2}+\frac{16}{5}c$，求 $T$的最小值．

阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式 $\Delta \ge 0$时，关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+bx+c＝0（a\ne 0）$的两个根 $x_1、x_2$有如下关系： $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$， $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$”．此关系通常被称为“韦达定理”．