如图,已知 $A,B$两点的坐标分别为 $A\left(0,2\sqrt{3}\right),B\left(2,0\right)$.直线 $\mathit{AB}$与反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象交于点 $C$和点 $D\left(-1,a\right)$.

（1）求直线 $\mathit{AB}$和反比例函数的解析式;

（2）求 $\angle \mathit{ACO}$的度数;

（3）将 $△\mathit{OBC}$绕点 $O$逆时针方向旋转 $\alpha$角（ $\alpha$为锐角）,得到 $△O{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.当 $\alpha$为多少度时, $O{C}^{\text{'}}\perp \mathit{AB}$.并求此时线段 $A{B}^{\text{'}}$的长.