如图，在平面直角坐标系中， $△\mathit{AOB}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，且线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-4x-5=0$的根，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp x$轴，垂足为 $E,\text{tan}\angle \mathit{BAE}=\frac{4}{3}$，动点 $M$以每秒 $1$个单位长度的速度，从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，到达点 $B$停止.过点 $M$作 $x$轴的垂线，垂足为 $D$，以 $\mathit{MD}$为边作正方形 $\mathit{MDCF}$，点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上，设正方形 $\mathit{MDCF}$与 $△\mathit{AOB}$重叠部分的面积为 $S$，点 $M$的运动时间为 $t(t>0)\text{s}$.

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数解析式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当点 $F$落在线段 $\mathit{OB}$上时，坐标平面内是否存在一点 $P$，使以 $M,A,O,P$为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由.