初中数学计算题

企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：

（1）宣传小组抽取的捐款人数为　 　人，请补全条形统计图；

（2）统计的捐款金额的中位数是　 　元；

（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；

（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？

先化简，再求值： $(a-\frac{1}{a})÷\frac{a-1}{{(a+1)}^2-1}$，其中 $a$满足 $a^2+3a-1=0$．

为迎接“国家卫生城市”复检，某市环卫局准备购买 $A$、 $B$两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个 $A$型垃圾箱和2个 $B$型垃圾箱共需540元；购买2个 $A$型垃圾箱比购买3个 $B$型垃圾箱少用160元．

（1）每个 $A$型垃圾箱和 $B$型垃圾箱各多少元？

（2）现需要购买 $A$， $B$两种型号的垃圾箱共300个，分别由甲、乙两人进行安装，要求在12天内完成（两人同时进行安装）．已知甲负责 $A$型垃圾箱的安装，每天可以安装15个，乙负责 $B$型垃圾箱的安装，每天可以安装20个，生产厂家表示若购买 $A$型垃圾箱不少于150个时，该型号的产品可以打九折；若购买 $B$型垃圾箱超过150个时，该型号的产品可以打八折，若既能在规定时间内完成任务，费用又最低，应购买 $A$型和 $B$型垃圾箱各多少个？最低费用是多少元？

某体育场看台的坡面 $\mathit{AB}$与地面的夹角是 $37°$，看台最高点 $B$到地面的垂直距离 $\mathit{BC}$为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆 $\mathit{DE}$，在 $B$点用测角仪测得旗杆的最高点 $E$的仰角为 $33°$，已知测角仪 $\mathit{BF}$的高度为1.6米，看台最低点 $A$与旗杆底端 $D$之间的距离为16米（ $C$， $A$， $D$在同一条直线上）．

（1）求看台最低点 $A$到最高点 $B$的坡面距离；

（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩 $G$、 $H$之间的距离为1.2米，下端挂钩 $H$与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数） $(\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.8$， $\tan 37°\approx 0.75$， $\sin 33°\approx 0.54$， $\cos 33°\approx 0.84$， $\tan 33°\approx 0.65)$

企业举行“爱心一日捐”活动，捐款金额分为五个档次，分别是50元，100元，150元，200元，300元．宣传小组随机抽取部分捐款职工并统计了他们的捐款金额，绘制成两个不完整的统计图，请结合图表中的信息解答下列问题：

（1）宣传小组抽取的捐款人数为　 　人，请补全条形统计图；

（2）统计的捐款金额的中位数是　 　元；

（3）在扇形统计图中，求100元所对应扇形的圆心角的度数；

（4）已知该企业共有500人参与本次捐款，请你估计捐款总额大约为多少元？

先化简，再求值： $(a-\frac{1}{a})÷\frac{a-1}{{(a+1)}^2-1}$，其中 $a$满足 $a^2+3a-1=0$．

已知点 $P(x_0$， $y_0)$和直线 $y=\mathit{kx}+b$，则点 $P$到直线 $y=\mathit{kx}+b$的距离证明可用公式 $d=\frac{|k{x}_0-y_0+b|}{\sqrt{1+k^2}}$计算．

例如：求点 $P(-1,2)$到直线 $y=3x+7$的距离．

解：因为直线 $y=3x+7$，其中 $k=3$， $b=7$．

所以点 $P(-1,2)$到直线 $y=3x+7$的距离为： $d=\frac{|k{x}_0-y_0+b|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{|3\times (-1)-2+7|}{\sqrt{1+3^2}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点 $P(1,-1)$到直线 $y=x-1$的距离；

（2）已知 $\odot Q$的圆心 $Q$坐标为 $(0,5)$，半径 $r$为2，判断 $\odot Q$与直线 $y=\sqrt{3}x+9$的位置关系并说明理由；

（3）已知直线 $y=-2x+4$与 $y=-2x-6$平行，求这两条直线之间的距离．

某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．

（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面 $\mathit{BC}$的坡度为 $1:1$，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为 $1:\sqrt{3}$．

（1）求新坡面的坡角 $a$；

（2）原天桥底部正前方8米处（ $\mathit{PB}$的长）的文化墙 $\mathit{PM}$是否需要拆除？请说明理由．

2016年6月19日是父亲节，某商店老板统计了这四年父亲节当天剃须刀销售情况，以下是根据该商店剃须刀销售的相关数据所绘制统计图的一部分．

请根据图1、图2解答下列问题：

（1）近四年父亲节当天剃须刀销售总额一共是5.8万元，请将图1中的统计图补充完整；

（2）计算该店2015年父亲节当天甲品牌剃须刀的销售额．

先化简，再求值： $a(a-2b)+{(a+b)}^2$，其中 $a=-1$， $b=\sqrt{2}$．

在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．

（一）尝试探究

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\angle \mathit{BAD}=60°$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADC}=90°$，点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上， $\angle \mathit{EAF}=30°$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）如图2，将 $\mathit{\Delta ABE}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$后得到△ $A\text{'}B\text{'}E\text{'}(A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{AD}$重合），请直接写出 $\angle E\text{'}\mathit{AF}=$　 　度，线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FD}$之间的数量关系为　 　．

（2）如图3，当点 $E$、 $F$分别在线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$的延长线上时，其他条件不变，请探究线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FD}$之间的数量关系，并说明理由．

（二）拓展延伸

如图4，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $E$、 $F$是边 $\mathit{BC}$上的两点， $\angle \mathit{EAF}=30°$， $\mathit{BE}=1$，将 $\mathit{\Delta ABE}$绕点 $A$逆时针旋转 $60°$得到△ $A\text{'}B\text{'}E\text{'}(A\text{'}B\text{'}$与 $\mathit{AC}$重合），连接 $\mathit{EE}\text{'}$， $\mathit{AF}$与 $\mathit{EE}\text{'}$交于点 $N$，过点 $A$作 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$，连接 $\mathit{MN}$，求线段 $\mathit{MN}$的长度．

如图1， $▱\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $x$轴的正半轴上， $\mathit{OC}=5$，反比例函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$的图象经过点 $A(1,4)$．

（1）求反比例函数的关系式和点 $B$的坐标；

（2）如图2，过 $\mathit{BC}$的中点 $D$作 $\mathit{DP}//x$轴交反比例函数图象于点 $P$，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{OP}$．

①求 $\mathit{\Delta AOP}$的面积；

②在 $▱\mathit{OABC}$的边上是否存在点 $M$，使得 $\mathit{\Delta POM}$是以 $\mathit{PO}$为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共 $40\mathit{kg}$，了解到这些蔬菜的种植成本共42元，还了解到如下信息：

（1）请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？

（2）这些采摘的黄瓜和茄子可赚多少元？

（1）如图1，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$．

（2）如图2， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PA}$与 $\odot O$相切于点 $A$， $\mathit{OP}$与 $\odot O$相交于点 $C$，连接 $\mathit{CB}$， $\angle \mathit{OPA}=40°$，求 $\angle \mathit{ABC}$的度数．