初中数学解答题

从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{CD}$为角平分线， $\angle A=40°$， $\angle B=60°$，求证： $\mathit{CD}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线．

（2）在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=48°$， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线，且 $\mathit{\Delta ACD}$为等腰三角形，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数．

（3）如图2， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=2$， $\mathit{BC}=\sqrt{2}$， $\mathit{CD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的完美分割线，且 $\mathit{\Delta ACD}$是以 $\mathit{CD}$为底边的等腰三角形，求完美分割线 $\mathit{CD}$的长．

某商场销售 $A$， $B$两种品牌的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示

	$A$	$B$
进价（万元 $/$套）	1.5	1.2
售价（万元 $/$套）	1.65	1.4

该商场计划购进两种教学设备若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．

（1）该商场计划购进 $A$， $B$两种品牌的教学设备各多少套？

（2）通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少 $A$种设备的购进数量，增加 $B$种设备的购进数量，已知 $B$种设备增加的数量是 $A$种设备减少的数量的1.5倍．若用于购进这两种教学设备的总资金不超过69万元，问 $A$种设备购进数量至多减少多少套？

如图，已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=10$，弦 $\mathit{AC}=6$， $\angle \mathit{BAC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线．

（2）求 $\mathit{DE}$的长．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{mx}+3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $B$的坐标为 $(3,0)$

（1）求 $m$的值及抛物线的顶点坐标．

（2）点 $P$是抛物线对称轴 $l$上的一个动点，当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小时，求点 $P$的坐标．

为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程．为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图（部分信息未给出） $:$

根据统计图中的信息，解答下列问题：

（1）求本次被调查的学生人数．

（2）将条形统计图补充完整．

（3）若该校共有1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数．

下列 $3\times 3$网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：

（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．

（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．

（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．

（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）

如图1，地面 $\mathit{BD}$上两根等长立柱 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$之间悬挂一根近似成抛物线 $y=\frac{1}{10}{x}^2-\frac{4}{5}x+3$的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离 $\mathit{AB}$为3米的位置处用一根立柱 $\mathit{MN}$撑起绳子（如图 $2)$，使左边抛物线 $F_1$的最低点距 $\mathit{MN}$为1米，离地面1.8米，求 $\mathit{MN}$的长；

（3）将立柱 $\mathit{MN}$的长度提升为3米，通过调整 $\mathit{MN}$的位置，使抛物线 $F_2$对应函数的二次项系数始终为 $\frac{1}{4}$，设 $\mathit{MN}$离 $\mathit{AB}$的距离为 $m$，抛物线 $F_2$的顶点离地面距离为 $k$，当 $2⩽k⩽2.5$时，求 $m$的取值范围．

如图， $\mathit{AB}$是以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$的切线， $D$为半圆上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是半圆 $O$的切线；

（2）连接 $\mathit{CD}$，求证： $\angle A=2\angle \mathit{CDE}$；

（3）若 $\angle \mathit{CDE}=27°$， $\mathit{OB}=2$，求 $\widehat{\mathit{BD}}$的长．

2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程 $S$（千米）与跑步时间 $t$（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米 $/$分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求图中 $a$的值；

（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点 $C$，该运动员从第一次经过 $C$点到第二次经过 $C$点所用的时间为68分钟．

①求 $\mathit{AB}$所在直线的函数解析式；

②该运动员跑完赛程用时多少分钟？

为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．

（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；

（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；

（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．

数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含 $45°$的三角板的斜边与含 $30°$的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点 $B$， $C$， $E$在同一直线上，若 $\mathit{BC}=2$，求 $\mathit{AF}$的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

如图1，地面 $\mathit{BD}$上两根等长立柱 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$之间悬挂一根近似成抛物线 $y=\frac{1}{10}{x}^2-\frac{4}{5}x+3$的绳子．

（1）求绳子最低点离地面的距离；

（2）因实际需要，在离 $\mathit{AB}$为3米的位置处用一根立柱 $\mathit{MN}$撑起绳子（如图 $2)$，使左边抛物线 $F_1$的最低点距 $\mathit{MN}$为1米，离地面1.8米，求 $\mathit{MN}$的长；

（3）将立柱 $\mathit{MN}$的长度提升为3米，通过调整 $\mathit{MN}$的位置，使抛物线 $F_2$对应函数的二次项系数始终为 $\frac{1}{4}$，设 $\mathit{MN}$离 $\mathit{AB}$的距离为 $m$，抛物线 $F_2$的顶点离地面距离为 $k$，当 $2⩽k⩽2.5$时，求 $m$的取值范围．

如图， $\mathit{AB}$是以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$的切线， $D$为半圆上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是半圆 $O$的切线；

（2）连接 $\mathit{CD}$，求证： $\angle A=2\angle \mathit{CDE}$；

（3）若 $\angle \mathit{CDE}=27°$， $\mathit{OB}=2$，求 $\widehat{\mathit{BD}}$的长．

2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程 $S$（千米）与跑步时间 $t$（分钟）之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3千米 $/$分，用时35分钟，根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求图中 $a$的值；

（2）组委会在距离起点2.1千米处设立一个拍摄点 $C$，该运动员从第一次经过 $C$点到第二次经过 $C$点所用的时间为68分钟．

①求 $\mathit{AB}$所在直线的函数解析式；

②该运动员跑完赛程用时多少分钟？

为了帮助九年级学生做好体育考试项目的选考工作，某校统计了本县上届九年级毕业生体育考试各个项目参加的男、女生人数及平均成绩，并绘制成如图两个统计图，请结合统计图信息解决问题．

（1）“掷实心球”项目男、女生总人数是“跳绳”项目男、女生总人数的2倍，求“跳绳”项目的女生人数；

（2）若一个考试项目的男、女生总平均成绩不小于9分为“优秀”，试判断该县上届毕业生的考试项目中达到“优秀”的有哪些项目，并说明理由；

（3）请结合统计图信息和实际情况，给该校九年级学生体育考试项目的选择提出合理化建议．