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初中数学

在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,抛物线 yax2+bxa0 经过点 A33 ,对称轴为直线 x2

(1)求 ab 的值;

(2)已知点 BC 在抛物线上,点 B 的横坐标为 t ,点 C 的横坐标为 t+1 .过点 B x 轴的垂线交直线 OA 于点 D ,过点 C x 轴的垂线交直线 OA 于点 E

(i)当 0t2 时,求 OBD ACE 的面积之和;

(ii)在抛物线对称轴右侧,是否存在点 B ,使得以 BCDE 为顶点的四边形的面积为 3 2 ?若存在,请求出点 B 的横坐标 t 的值;若不存在,请说明理由.

来源:2023年安徽省中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

综合运用

如图1,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的顶点 A x 轴的正半轴上.如图2,将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转,旋转角为 α0°α45° AB 交直线 yx 于点 E BC y 轴于点 F

(1)当旋转角 COF 为多少度时, OEOF ;(直接写出结果,不要求写解答过程)

(2)若点 A43 ,求 FC 的长;

3)如图3,对角线 AC y 轴于点 M ,交直线 yx 于点 N ,连接 FN .将 OFN OCF 的面积分别记为 S 1 S 2 .设 S S 1 S 2 ANn ,求 S 关于 n 的函数表达式.

来源:2023年广东省中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在锐角△ABC中, A 60 ° ,点DE分别是边ABAC上一动点,连接BE交直线CD于点F

(1)如图1,若 A B A C ,且 B D C E B C D C B E ,求 C F E 的度数;

(2)如图2,若 A B A C ,且 B D A E ,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM,连接MF,点NMF的中点,连接CN.在点DE运动过程中,猜想线段BFCFCN之间存在的数量关系,并证明你的猜想;

(3)若 A B A C ,且 B D A E ,将 A B C 沿直线AB翻折至 A B C 所在平面内得到 A B P ,点HAP的中点,点K是线段PF上一点,将 P H K 沿直线HK翻折至 P H K 所在平面内得到 Q H K ,连接PQ.在点DE运动过程中,当线段PF取得最小值,且 Q K P F 时,请直接写出 PQ BC 的值.

来源:2022年重庆市中考数学试卷(a卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y = 1 2 x 2 + bx + c 与直线AB交于点 A 0 , 4 B 4 , 0

(1)求该抛物线的函数表达式;

(2)点P是直线AB下方抛物线上的一动点,过点P x 轴的平行线交AB于点C,过点P y 轴的平行线交 x 轴于点D,求 P C + P D 的最大值及此时点P的坐标;

(3)在(2)中 P C + P D 取得最大值的条件下,将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位,点E为点P的对应点,平移后的抛物线与 y 轴交于点FM为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N,使得以点EFMN为顶点的四边形是平行四边形,写出所有符合条件的点N的坐标,并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程.

来源:2022年重庆市中考数学试卷(a卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数,则这个四位数M为“勾股和数”.

例如: M 2543 ,∵ 3 2 + 4 2 = 25 ,∴2543是“勾股和数”;

又如: M 4325 ,∵ 5 2 + 2 2 = 29 29 43 ,∴4325不是“勾股和数”.

(1)判断2022,5055是否是“勾股和数”,并说明理由;

(2)一个“勾股和数”M的千位数字为a,百位数字为b,十位数字为c,个位数字为d,记 G M = c + d 9 P M = 10 a - c + b - d 3 .当 G M P M 均是整数时,求出所有满足条件的M

来源:2022年重庆市中考数学试卷(a卷)
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在平面直角坐标系中,抛物线 y x 2 2 x 3 x 轴相交于点 A B (点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴相交于点 C ,连接 A C

(1)求点 B ,点 C 的坐标;

2)如图1,点 E m 0 在线段 O B 上(点 E 不与点 B 重合),点 F y 轴负半轴上, O E O F ,连接 A F B F E F ,设 A C F 的面积为 S 1 B E F 的面积为 S 2 S S 1 + S 2 ,当 S 取最大值时,求 m 的值;

(3)如图2,抛物线的顶点为 D ,连接 C D B C ,点 P 在第一象限的抛物线上, P D B C 相交于点 Q ,是否存在点 P ,使 P Q C A C D ,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2022年辽宁省大连市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

综合与实践

问题情境:数学活动课上,王老师出示了一个问题:

如图1,在 A B C 中, D A B 上一点, A D C A C B .求证 A C D A B C

独立思考:(1)请解答王老师提出的问题.

实践探究:(2)在原有问题条件不变的情况下,王老师增加下面的条件,并提出新问题,请你解答.

“如图2,延长 C A 至点 E ,使 C E B D B E C D 的延长线相交于点 F ,点 G H 分别在 B F B C 上, B G C D B G H B C F .在图中找出与 B H 相等的线段,并证明.”

问题解决:(3)数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现,当 B A C 90 ° 时,若给出 A B C 中任意两边长,则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求.该小组提出下面的问题,请你解答.

“如图3,在(2)的条件下,若 B A C 90 ° A B 4 A C 2 ,求 B H 的长.”

来源:2022年辽宁省大连市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,矩形 A B C D 中, A B 15 B C 9 E C D 边上一点(不与点 C 重合),作 A F B E F C G B E G ,延长 C G 至点 C ,使 C G C G ,连接 C F A C

(1)直接写出图中与 A F B 相似的一个三角形;

(2)若四边形 A F C C 是平行四边形,求 C E 的长;

(3)当 C E 的长为多少时,以 C F B 为顶点的三角形是以 C F 为腰的等腰三角形?

来源:2022年湖南省益阳市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,以 A B 为直径的 O A H 相切于点 A ,点 C A B 左侧圆弧上,弦 C D A B O 于点 D ,连结 A C A D .点 A 关于 C D 的对称点为 E ,直线 C E O 于点 F ,交 A H 于点 G

(1)求证: C A G A G C

(2)当点 E A B 上,连结 A F C D 于点 P ,若 EF CE = 2 5 ,求 DP CP 的值;

(3)当点 E 在射线 A B 上, A B 2 ,以点 A C O F 为顶点的四边形中有一组对边平行时,求 A E 的长.

来源:2022年浙江省丽水市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知点 M x 1 y 1 N x 2 y 2 在二次函数 y a x 2 2 1 a 0 的图象上,且 x 2 x 1 3

(1)若二次函数的图象经过点 3 1

①求这个二次函数的表达式;

y 1 y 2 ,求顶点到 M N 的距离;

2)当 x 1 x x 2 时,二次函数的最大值与最小值的差为 1 ,点 M N 在对称轴的异侧,求 a 的取值范围.

来源:2022年浙江省丽水市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,四边形 A B C D 中, A D B C A B C 90 ° C 30 ° A D 3 A B 2 3 D H B C 于点 H .将 P Q M 与该四边形按如图方式放在同一平面内,使点 P A 重合,点 B P M 上,其中 Q 90 ° Q P M 30 ° P M 4 3

(1)求证: P Q M C H D

(2) P Q M 从图1的位置出发,先沿着 B C 方向向右平移(图2),当点 P 到达点 D 后立刻绕点 D 逆时针旋转(图3),当边 P M 旋转 50 ° 时停止.

①边 P Q 从平移开始,到绕点 D 旋转结束,求边 P Q 扫过的面积;

②如图2,点 K B H 上,且 B K 9 4 3 .若 P Q M 右移的速度为每秒 1 个单位长,绕点 D 旋转的速度为每秒 5 ° ,求点 K P Q M 区域(含边界)内的时长;

③如图3,在 P Q M 旋转过程中,设 P Q P M 分别交 B C 于点 E F ,若 B E d ,直接写出 C F 的长(用含 d 的式子表示).

来源:2022年河北省中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y x 2 + b x + c x 轴交于 A 1 0 B m 0 两点,与 y 轴交于点 C 0 5

(1)求 b c m 的值;

(2)如图1,点 D 是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,且点 D 在第一象限内,过点 D x 轴的平行线交抛物线于点 E ,作 y 轴的平行线交 x 轴于点 G ,过点 E E F x 轴,垂足为点 F ,当四边形 D E F G 的周长最大时,求点 D 的坐标;

(3)如图2,点 M 是抛物线的顶点,将 M B C 沿 B C 翻折得到 N B C N B y 轴交于点 Q ,在对称轴上找一点 P ,使得 P Q B 是以 Q B 为直角边的直角三角形,求出所有符合条件的点 P 的坐标.

来源:2022年广西柳州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在四边形 A B C D 中,对角线 A C B D 相交于点 O ,记 C O D 的面积为 S 1 A O B 的面积为 S 2

(1)问题解决:如图①,若 A B C D ,求证: S 1 S 2 = OC OD OA OB

(2)探索推广:如图②,若 A B C D 不平行,(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

(3)拓展应用:如图③,在 O A 上取一点 E ,使 O E O C ,过点 E E F C D B D 于点 F ,点 H A B 的中点, O H E F 于点 G ,且 O G 2 G H ,若 OE OA = 5 6 ,求 S 1 S 2 值.

来源:2022年贵州省铜仁市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,平面直角坐标系 x O y 中,抛物线 y a x 2 + b x + c a 0 x 轴分别交于点 A 和点 B 1 0 ,与 y 轴交于点 C ,对称轴为直线 x 1 ,且 O A O C P 为抛物线上一动点.

(1)直接写出抛物线的解析式;

(2)如图2,连接 A C ,当点 P 在直线 A C 上方时,求四边形 P A B C 面积的最大值,并求出此时 P 点的坐标;

(3)设M为抛物线对称轴上一动点,当 P M 运动时,在坐标轴上是否存在点 N ,使四边形 P M C N 为矩形?若存在,直接写出点 P 及其对应点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2022年湖北省随州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y x 2 + 3 x + 4 x 轴交于 A B 两点(点 A 位于点 B 的左侧),与 y 轴交于 C 点,抛物线的对称轴 l x 轴交于点 N ,长为 1 的线段 P Q (点 P 位于点 Q 的上方)在 x 轴上方的抛物线对称轴上运动.

(1)直接写出 A B C 三点的坐标;

(2)求 C P + P Q + Q B 的最小值;

(3)过点 P P M y 轴于点 M ,当 C P M Q B N 相似时,求点 Q 的坐标.

来源:2022年广西桂林市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学解答题