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初中数学

在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为"雁点".例如 ( 1 , 1 ) ( 2021 , 2021 ) 都是"雁点".

(1)求函数 y = 4 x 图象上的"雁点"坐标;

(2)若抛物线 y = a x 2 + 5 x + c 上有且只有一个"雁点" E ,该抛物线与 x 轴交于 M N 两点(点 M 在点 N 的左侧).当 a > 1 时.

①求 c 的取值范围;

②求 EMN 的度数;

(3)如图,抛物线 y = - x 2 + 2 x + 3 x 轴交于 A B 两点(点 A 在点 B 的左侧), P 是抛物线 y = - x 2 + 2 x + 3 上一点,连接 BP ,以点 P 为直角顶点,构造等腰 Rt Δ BPC ,是否存在点 P ,使点 C 恰好为"雁点"?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年湖南省衡阳市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图1,在 ΔABC 中, AB = AC N BC 边上的一点, D AN 的中点,过点 A BC 的平行线交 CD 的延长线于 T ,且 AT = BN ,连接 BT

(1)求证: BN = CN

(2)在图1中 AN 上取一点 O ,使 AO = OC ,作 N 关于边 AC 的对称点 M ,连接 MT MO OC OT CM 得图2.

①求证: ΔTOM ΔAOC

②设 TM AC 相交于点 P ,求证: PD / / CM PD = 1 2 CM

来源:2021年湖南省常德市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在平面直角坐标系中,抛物线 y 1 = - ( x + 4 ) ( x - n ) x 轴交于点 A 和点 B ( n 0 ) ( n - 4 ) ,顶点坐标记为 ( h 1 k 1 ) .抛物线 y 2 = - ( x + 2 n ) 2 - n 2 + 2 n + 9 的顶点坐标记为 ( h 2 k 2 )

(1)写出 A 点坐标;

(2)求 k 1 k 2 的值(用含 n 的代数式表示)

(3)当 - 4 n 4 时,探究 k 1 k 2 的大小关系;

(4)经过点 M ( 2 n + 9 , - 5 n 2 ) 和点 N ( 2 n , 9 - 5 n 2 ) 的直线与抛物线 y 1 = - ( x + 4 ) ( x - n ) y 2 = - ( x + 2 n ) 2 - n 2 + 2 n + 9 的公共点恰好为3个不同点时,求 n 的值.

来源:2021年湖北省宜昌市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,直线 y = 1 2 x + 1 x y 轴分别交于点 B A ,顶点为 P 的抛物线 y = a x 2 - 2 ax + c 过点 A

(1)求出点 A B 的坐标及 c 的值;

(2)若函数 y = a x 2 - 2 ax + c 3 x 4 时有最大值为 a + 2 ,求 a 的值;

(3)连接 AP ,过点 A AP 的垂线交 x 轴于点 M .设 ΔBMP 的面积为 S

①直接写出 S 关于 a 的函数关系式及 a 的取值范围;

②结合 S a 的函数图象,直接写出 S > 1 8 a 的取值范围.

来源:2021年湖北省襄阳市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

抛物线 y = x 2 - 1 x 轴于 A B 两点 ( A B 的左边).

(1) ACDE 的顶点 C y 轴的正半轴上,顶点 E y 轴右侧的抛物线上;

①如图(1),若点 C 的坐标是 ( 0 , 3 ) ,点 E 的横坐标是 3 2 ,直接写出点 A D 的坐标.

②如图(2),若点 D 在抛物线上,且 ACDE 的面积是12,求点 E 的坐标.

(2)如图(3), F 是原点 O 关于抛物线顶点的对称点,不平行 y 轴的直线 l 分别交线段 AF BF (不含端点)于 G H 两点.若直线 l 与抛物线只有一个公共点,求证: FG + FH 的值是定值.

来源:2021年湖北省武汉市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

在平面直角坐标系中,抛物线 y = a x 2 + bx + c x 轴交于点 A ( - 1 , 0 ) 和点 B ,与 y 轴交于点 C ,顶点 D 的坐标为 ( 1 , - 4 )

(1)直接写出抛物线的解析式;

(2)如图1,若点 P 在抛物线上且满足 PCB = CBD ,求点 P 的坐标;

(3)如图2, M 是直线 BC 上一个动点,过点 M MN x 轴交抛物线于点 N Q 是直线 AC 上一个动点,当 ΔQMN 为等腰直角三角形时,直接写出此时点 M 及其对应点 Q 的坐标.

来源:2021年湖北省随州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + bx - 5 x 轴交于点 A ( - 1 , 0 ) B ( - 5 , 0 ) ,与 y 轴交于点 C ,顶点为 P ,点 N 在抛物线对称轴上且位于 x 轴下方,连 AN 交抛物线于 M ,连 AC CM

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,当 tan ACM = 2 时,求 M 点的横坐标;

(3)如图2,过点 P x 轴的平行线 l ,过 M MD l D ,若 MD = 3 MN ,求 N 点的坐标.

来源:2021年湖北省十堰市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,抛物线 y = a x 2 + bx + c x 轴于 A ( - 1 , 0 ) B ( 3 , 0 ) 两点,交 y 轴于点 C ( 0 , - 3 ) ,点 Q 为线段 BC 上的动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)求 | QO | + | QA | 的最小值;

(3)过点 Q PQ / / AC 交抛物线的第四象限部分于点 P ,连接 PA PB ,记 ΔPAQ ΔPBQ 面积分别为 S 1 S 2 ,设 S = S 1 + S 2 ,求点 P 坐标,使得 S 最大,并求此最大值.

来源:2021年湖北省荆门市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

抛物线 y = a x 2 - 2 bx + b ( a 0 ) y 轴相交于点 C ( 0 , - 3 ) ,且抛物线的对称轴为 x = 3 D 为对称轴与 x 轴的交点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)在 x 轴上方且平行于 x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 E F 两点,若 ΔDEF 是等腰直角三角形,求 ΔDEF 的面积;

(3)若 P ( 3 , t ) 是对称轴上一定点, Q 是抛物线上的动点,求 PQ 的最小值(用含 t 的代数式表示).

来源:2021年湖北省黄石市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

已知抛物线 y = a x 2 + bx - 3 x 轴相交于 A ( - 1 , 0 ) B ( 3 , 0 ) 两点,与 y 轴交于点 C ,点 N ( n , 0 ) x 轴上的动点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,若 n < 3 ,过点 N x 轴的垂线交抛物线于点 P ,交直线 BC 于点 G .过点 P PD BC 于点 D ,当 n 为何值时, ΔPDG ΔBNG

(3)如图2,将直线 BC 绕点 B 顺时针旋转,它恰好经过线段 OC 的中点,然后将它向上平移 3 2 个单位长度,得到直线 O B 1

tan BO B 1 =   

②当点 N 关于直线 O B 1 的对称点 N 1 落在抛物线上时,求点 N 的坐标.

来源:2021年湖北省黄冈市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 为正方形,点 A B x 轴上,抛物线 y = x 2 + bx + c 经过点 B D ( - 4 , 5 ) 两点,且与直线 DC 交于另一点 E

(1)求抛物线的解析式;

(2) F 为抛物线对称轴上一点, Q 为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点 Q F E B 为顶点的四边形是以 BE 为边的菱形.若存在,请求出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由;

(3) P y 轴上一点,过点 P 作抛物线对称轴的垂线,垂足为 M ,连接 ME BP ,探究 EM + MP + PB 是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年湖北省恩施州中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,直线 y = - 3 2 x + 6 x 轴交于点 B ,与 y 轴交于点 A ,点 P 为线段 AB 的中点,点 Q 是线段 OA 上一动点(不与点 O A 重合).

(1)请直接写出点 A 、点 B 、点 P 的坐标;

(2)连接 PQ ,在第一象限内将 ΔOPQ 沿 PQ 翻折得到 ΔEPQ ,点 O 的对应点为点 E .若 OQE = 90 ° ,求线段 AQ 的长;

(3)在(2)的条件下,设抛物线 y = a x 2 - 2 a 2 x + a 3 + a + 1 ( a 0 ) 的顶点为点 C

①若点 C ΔPQE 内部(不包括边),求 a 的取值范围;

②在平面直角坐标系内是否存在点 C ,使 | CQ - CE | 最大?若存在,请直接写出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年湖北省鄂州市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,已知抛物线 y = a x 2 + bx + 5 ( a 0 ) x 轴交于点 A ( - 5 , 0 ) ,点 B ( 1 , 0 ) (点 A 在点 B 的左边),与 y 轴交于点 C ,点 D 为抛物线的顶点,连接 BD .直线 y = - 1 2 x - 5 2 经过点 A ,且与 y 轴交于点 E

(1)求抛物线的解析式;

(2)点 N 是抛物线上的一点,当 ΔBDN 是以 DN 为腰的等腰三角形时,求点 N 的坐标;

(3)点 F 为线段 AE 上的一点,点 G 为线段 OA 上的一点,连接 FG ,并延长 FG 与线段 BD 交于点 H (点 H 在第一象限),当 EFG = 3 BAE HG = 2 FG 时,求出点 F 的坐标.

来源:2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图所示,四边形 ABCD 为正方形,在 ΔECH 中, ECH = 90 ° CE = CH HE 的延长线与 CD 的延长线交于点 F ,点 D B H 在同一条直线上.

(1)求证: ΔCDE ΔCBH

(2)当 HB HD = 1 5 时,求 FD FC 的值;

(3)当 HB = 3 HG = 4 时,求 sin CFE 的值.

来源:2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

如图,在平面直角坐标系中, ΔAOB 的边 OA x 轴上, OA = AB ,且线段 OA 的长是方程 x 2 - 4 x - 5 = 0 的根,过点 B BE x 轴,垂足为 E tan BAE = 4 3 ,动点 M 以每秒1个单位长度的速度,从点 A 出发,沿线段 AB 向点 B 运动,到达点 B 停止.过点 M x 轴的垂线,垂足为 D ,以 MD 为边作正方形 MDCF ,点 C 在线段 OA 上,设正方形 MDCF ΔAOB 重叠部分的面积为 S ,点 M 的运动时间为 t ( t > 0 ) 秒.

(1)求点 B 的坐标;

(2)求 S 关于 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围;

(3)当点 F 落在线段 OB 上时,坐标平面内是否存在一点 P ,使以 M A O P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

来源:2021年黑龙江省龙东地区中考数学试卷
  • 题型:未知
  • 难度:未知

初中数学解答题