初中数学解答题

2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买 $1$个冰墩墩毛绒玩具和 $2$个雪容融毛绒玩具用了 $400$元，购买 $3$个冰墩墩毛绒玩具和 $4$个雪容融毛绒玩具用了 $1000$元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？

如图，四边形 $ABCD$是菱形，点 $E，F$分别在 $AB，AD$上， $AE＝AF$．求证： $CE＝CF$．

为了解某初级中学落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况，调查组从该校全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间 $t$（单位： $h$），并对数据进行整理、描述和分析．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．

平均每周劳动时间频数统计表

平均每周劳动时间 $t/h$	频数	频率
$1\le t＜2$	$3$
$2\le t＜3$	$a$	$0.12$
$3\le t＜4$	$37$	$b$
$4\le t＜5$		$0.35$
$5\le t＜6$
合计	$c$

根据以上信息，回答下列问题：

（1）填空： $a＝$＿＿＿＿＿， $b=$＿＿＿＿＿， $c＝$＿＿＿＿＿；

（2）若该校有 $1000$名学生，请估计平均每周劳动时间在 $3\le t＜5$范围内的学生人数．

计算： $\frac{{\mathrm{x}}^2-4}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4}÷\frac{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}}{2\mathrm{x}-4}-\frac{1}{\mathrm{x}}$．

如图，矩形 $ABCD$中， $AB＝15，BC＝9$， $E$是 $CD$边上一点（不与点 $C$重合），作 $AF\perp BE$于 $F$， $CG\perp BE$于 $G$，延长 $CG$至点 $C\prime$，使 $C\prime G＝CG$，连接 $CF，AC\prime$．

（1）直接写出图中与 $△AFB$相似的一个三角形；

（2）若四边形 $AFCC\prime$是平行四边形，求 $CE$的长；

（3）当 $CE$的长为多少时，以 $C\prime ，F，B$为顶点的三角形是以 $C\prime F$为腰的等腰三角形？

如图，在平面直角坐标系 $xOy$中，抛物线 $E：y＝﹣（x﹣m{）}^2+2m^2（m＜0）$的顶点 $P$在抛物线 $F：y＝a{x}^2$上，直线 $x＝t$与抛物线 $E，F$分别交于点 $A，B$．

（1）求 $a$的值；

（2）将 $A，B$的纵坐标分别记为 $y_A，y_B$，设 $s＝y_A﹣y_B$，若 $s$的最大值为 $4$，则 $m$的值是多少？

（3） $Q$是 $x$轴的正半轴上一点，且 $PQ$的中点 $M$恰好在抛物线 $F$上．试探究：此时无论 $m$为何负值，在 $y$轴的负半轴上是否存在定点 $G$，使 $\angle PQG$总为直角？若存在，请求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由．

在某市组织的农机推广活动中，甲、乙两人分别操控A、B两种型号的收割机参加水稻收割比赛．已知乙每小时收割的亩数比甲少 $40\%$，两人各收割 $6$亩水稻，乙则比甲多用 $0.4$小时完成任务；甲、乙在收割过程中对应收稻谷有一定的遗落或破损，损失率分别为 $3\%，2\%$．

（1）甲、乙两人操控A、B型号收割机每小时各能收割多少亩水稻？

（2）某水稻种植大户有与比赛中规格相同的 $100$亩待收水稻，邀请甲、乙两人操控原收割机一同前去完成收割任务，要求平均损失率不超过 $2.4\%$，则最多安排甲收割多少小时？

如图， $C$是圆 $O$被直径 $AB$分成的半圆上一点，过点 $C$的圆 $O$的切线交 $AB$的延长线于点 $P$，连接 $CA，CO，CB$．

（1）求证： $\angle ACO＝\angle BCP$；

（2）若 $\angle ABC＝2\angle BCP$，求 $\angle P$的度数；

（3）在（2）的条件下，若 $AB＝4$，求图中阴影部分的面积（结果保留 $\pi$和根号）．

为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为 $10$分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．

（1）求（2）班学生中测试成绩为 $10$分的人数；

（2）请确定下表中 $a，b，c$的值（只要求写出求 $a$的计算过程）；

统计量	平均数	众数	中位数	方差
（1）班	8	8	c	1.16
（2）班	a	b	8	1.56

（3）从上表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．

如图，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$与 $x$轴交于点 $A$，点 $A$关于 $y$轴的对称点为 $A\prime$，经过点 $A\prime$和 $y$轴上的点 $B（0，2）$的直线设为 $y＝kx+b$．

（1）求点 $A\prime$的坐标；

（2）确定直线 $A\prime B$对应的函数表达式．

如图，在 $Rt△ABC$中， $\angle B＝90°$， $CD\parallel AB$， $DE\perp AC$于点 $E$，且 $CE＝AB$．求证： $△CED≌△ABC$．

计算： $（-2022{）}^0+6\times （-\frac{1}{2}）$ $+\sqrt{8}÷\sqrt{2}$．

如图，以 $AB$为直径的 $\odot O$与 $AH$相切于点 $A$，点 $C$在 $AB$左侧圆弧上，弦 $CD\perp AB$交 $\odot O$于点 $D$，连结 $AC，AD$．点 $A$关于 $CD$的对称点为 $E$，直线 $CE$交 $\odot O$于点 $F$，交 $AH$于点 $G$．

（1）求证： $\angle CAG＝\angle AGC$；

（2）当点 $E$在 $AB$上，连结 $AF$交 $CD$于点 $P$，若 $\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CE}}=\frac{2}{5}$，求 $\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{CP}}$的值；

（3）当点 $E$在射线 $AB$上， $AB＝2$，以点 $A，C，O，F$为顶点的四边形中有一组对边平行时，求 $AE$的长．

如图，已知点 $M（x_1，y_1），N（x_2，y_2）$在二次函数 $y＝a（x﹣2{）}^2﹣1（a＞0）$的图象上，且 $x_2﹣x_1＝3$．

（1）若二次函数的图象经过点 $（3，1）$．

①求这个二次函数的表达式；

②若 $y_1＝y_2$，求顶点到 $MN$的距离；

（2）当 $x_1\le x\le x_2$时，二次函数的最大值与最小值的差为 $1$，点 $M，N$在对称轴的异侧，求 $a$的取值范围．

如图，将矩形纸片 $ABCD$折叠，使点 $B$与点 $D$重合，点 $A$落在点 $P$处，折痕为 $EF$．

（1）求证： $△PDE≌△CDF$；

（2）若 $CD＝4cm$， $EF＝5cm$，求 $BC$的长．