如图，以 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AB}$为直径作 $\odot O$，交斜边 $\mathit{AC}$于点 $D$，点 $E$为 $\mathit{OB}$的中点，连接 $\mathit{CE}$并延长交 $\odot O$于点 $F$，点 $F$恰好落在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$的中点，连接 $\mathit{AF}$并延长与 $\mathit{CB}$的延长线相交于点 $G$，连接 $\mathit{OF}$．

（1）求证： $\mathit{OF}=\frac{1}{2}\mathit{BG}$；

（2）若 $\mathit{AB}=4$，求 $\mathit{DC}$的长．