初中数学解答题

如图1，抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $C(6,0)$ ，顶点为 $B$ ，对称轴 $x=2$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ， $D$ 为线段 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为线段 $\mathit{BC}$ 上任意一点， $M$ 为 $x$ 轴上一动点，连接 $\mathit{MP}$ ，以点 $M$ 为中心，将 $\mathit{\Delta MPC}$ 逆时针旋转 $90°$ ，记点 $P$ 的对应点为 $E$ ，点 $C$ 的对应点为 $F$ ．当直线 $\mathit{EF}$ 与抛物线 $y=-\frac{1}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 只有一个交点时，求点 $M$ 的坐标．

（3） $\mathit{\Delta MPC}$ 在（2）的旋转变换下，若 $\mathit{PC}=\sqrt{2}$ （如图 $2)$ ．

①求证： $\mathit{EA}=\mathit{ED}$ ．

②当点 $E$ 在（1）所求的抛物线上时，求线段 $\mathit{CM}$ 的长．

如图，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$左边），与 $y$轴交于点 $C$．直线 $y=\frac{1}{2}x-2$经过 $B$、 $C$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是抛物线上的一动点，过点 $P$且垂直于 $x$轴的直线与直线 $\mathit{BC}$及 $x$轴分别交于点 $D$、 $M$． $\mathit{PN}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $N$．设 $M(m,0)$．

①点 $P$在抛物线上运动，若 $P$、 $D$、 $M$三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的 $m$的值；

②当点 $P$在直线 $\mathit{BC}$下方的抛物线上运动时，是否存在一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PNC}$与 $\mathit{\Delta AOC}$相似．若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{9}{4}x+c$ 经过点 $A(-1,0)$ 和点 $C(0,3)$ 与 $x$ 轴的另一交点为点 $B$ ，点 $M$ 是直线 $\mathit{BC}$ 上一动点，过点 $M$ 作 $\mathit{MP}//y$ 轴，交抛物线于点 $P$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点 $Q$ ，使得 $\mathit{\Delta QCO}$ 是等边三角形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以 $M$ 为圆心， $\mathit{MP}$ 为半径作 $\odot M$ ，当 $\odot M$ 与坐标轴相切时，求出 $\odot M$ 的半径．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+6$经过两点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C$是抛物线与 $y$轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P(m,n)$在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设 $\mathit{\Delta PBC}$的面积为 $S$，求 $S$关于 $m$的函数表达式（指出自变量 $m$的取值范围）和 $S$的最大值；

（3）点 $M$在抛物线上运动，点 $N$在 $y$轴上运动，是否存在点 $M$、点 $N$使得 $\angle \mathit{CMN}=90°$，且 $\mathit{\Delta CMN}$与 $\mathit{\Delta OBC}$相似，如果存在，请求出点 $M$和点 $N$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左边），与 $y$轴交于点 $C(0,-3)$，顶点 $D$的坐标为 $(1,-4)$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）在 $y$轴上找一点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EAC}$为等腰三角形，请直接写出点 $E$的坐标．

（3）点 $P$是 $x$轴上的动点，点 $Q$是抛物线上的动点，是否存在点 $P$、 $Q$，使得以点 $P$、 $Q$、 $B$、 $D$为顶点， $\mathit{BD}$为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $P$、 $Q$坐标；若不存在，请说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形，点 $O$为对角线 $\mathit{AC}$的中点．

（1）问题解决：如图①，连接 $\mathit{BO}$，分别取 $\mathit{CB}$， $\mathit{BO}$的中点 $P$， $Q$，连接 $\mathit{PQ}$，则 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{BO}$的数量关系是　 　，位置关系是　　；

（2）问题探究：如图②，△ $A{O}^{\text{'}}E$是将图①中的 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $A$按顺时针方向旋转 $45°$得到的三角形，连接 $\mathit{CE}$，点 $P$， $Q$分别为 $\mathit{CE}$， $B{O}^{\text{'}}$的中点，连接 $\mathit{PQ}$， $\mathit{PB}$．判断 $\mathit{\Delta PQB}$的形状，并证明你的结论；

（3）拓展延伸：如图③，△ $A{O}^{\text{'}}E$是将图①中的 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $45°$得到的三角形，连接 $B{O}^{\text{'}}$，点 $P$， $Q$分别为 $\mathit{CE}$， $B{O}^{\text{'}}$的中点，连接 $\mathit{PQ}$， $\mathit{PB}$．若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，求 $\mathit{\Delta PQB}$的面积．

如图1，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{(x+2)}^2+6$与抛物线 $y_1=-x^2+\frac{1}{2}\mathit{tx}+t-2$相交 $y$轴于点 $C$，抛物线 $y_1$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $B$在点 $A$的右侧），直线 $y_2=\mathit{kx}+3$交 $x$轴负半轴于点 $N$，交 $y$轴于点 $M$，且 $\mathit{OC}=\mathit{ON}$．

（1）求抛物线 $y_1$的解析式与 $k$的值；

（2）抛物线 $y_1$的对称轴交 $x$轴于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，在 $x$轴上方的对称轴上找一点 $E$，使以点 $A$， $D$， $E$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，求出 $\mathit{DE}$的长；

（3）如图2，过抛物线 $y_1$上的动点 $G$作 $\mathit{GH}\perp x$轴于点 $H$，交直线 $y_2=\mathit{kx}+3$于点 $Q$，若点 $Q^{\text{'}}$是点 $Q$关于直线 $\mathit{MG}$的对称点，是否存在点 $G$（不与点 $C$重合），使点 $Q^{\text{'}}$落在 $y$轴上？若存在，请直接写出点 $G$的横坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$长是 $x^2-3x-18=0$的根，连接 $\mathit{BD}$， $\angle \mathit{DBC}=30°$，并过点 $C$作 $\mathit{CN}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $N$，动点 $P$从 $B$点以每秒2个单位长度的速度沿 $\mathit{BD}$方向匀速运动到 $D$点为止；点 $M$沿线段 $\mathit{DA}$以每秒 $\sqrt{3}$个单位长度的速度由点 $D$向点 $A$匀速运动，到点 $A$为止，点 $P$与点 $M$同时出发，设运动时间为 $t$秒 $(t>0)$．

（1）线段 $\mathit{CN}=$　 $3\sqrt{3}$　；

（2）连接 $\mathit{PM}$和 $\mathit{MN}$，求 $\mathit{\Delta PMN}$的面积 $s$与运动时间 $t$的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当 $\mathit{\Delta PMN}$是以 $\mathit{PN}$为腰的等腰三角形时，直接写出点 $P$的坐标．

如图，已知直线 $\mathit{AB}$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-7x-18=0$的一个根， $\mathit{OB}=\frac{1}{2}\mathit{OA}$．请答案下列问题：

（1）求点 $A$， $B$的坐标；

（2）直线 $\mathit{EF}$交 $x$轴负半轴于点 $E$，交 $y$轴正半轴于点 $F$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $C$．若 $C$是 $\mathit{EF}$的中点， $\mathit{OE}=6$，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$图象的一支经过点 $C$，求 $k$的值；

（3）在（2）的条件下，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{OE}$，垂足为 $D$，点 $M$在直线 $\mathit{AB}$上，点 $N$在直线 $\mathit{CD}$上．坐标平面内是否存在点 $P$，使以 $D$， $M$， $N$， $P$为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点 $P$的个数，并直接写出其中两个点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}$在 $y$轴上． $O$为坐标原点， $\mathit{AB}//\mathit{OC}$，线段 $\mathit{OA}$， $\mathit{AB}$的长分别是方程 $x^2-9x+20=0$的两个根 $(\mathit{OA}<\mathit{AB})$， $\tan \angle \mathit{OCB}=\frac{4}{3}$．

（1）求点 $B$， $C$的坐标；

（2） $P$为 $\mathit{OA}$上一点， $Q$为 $\mathit{OC}$上一点， $\mathit{OQ}=5$，将 $\mathit{\Delta POQ}$翻折，使点 $O$落在 $\mathit{AB}$上的点 $O\text{'}$处，双曲线 $y=\frac{k}{x}$的一个分支过点 $O\text{'}$．求 $k$的值；

（3）在（2）的条件下， $M$为坐标轴上一点，在平面内是否存在点 $N$，使以 $O\text{'}$， $Q$， $M$， $N$为顶点四边形为矩形？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+6(a\ne 0)$交 $x$轴于点 $A(6,0)$和点 $B(-1,0)$，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点 $P$是抛物线上位于直线 $\mathit{AC}$上方的动点，过点 $P$分别作 $x$轴、 $y$轴的平行线，交直线 $\mathit{AC}$于点 $D$， $E$，当 $\mathit{PD}+\mathit{PE}$取最大值时，求点 $P$的坐标；

（3）如图（2），点 $M$为抛物线对称轴 $l$上一点，点 $N$为抛物线上一点，当直线 $\mathit{AC}$垂直平分 $\mathit{\Delta AMN}$的边 $\mathit{MN}$时，求点 $N$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=x+1$与直线 $l_2:x=-2$相交于点 $D$，点 $A$是直线 $l_2$上的动点，过点 $A$作 $\mathit{AB}\perp l_1$于点 $B$，点 $C$的坐标为 $(0,3)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．设点 $A$的纵坐标为 $t$， $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $s$．

（1）当 $t=2$时，请直接写出点 $B$的坐标；

（2） $s$关于 $t$的函数解析式为 $s=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}{t}^2+\mathit{bt}-\frac{5}{4},t〈-1或t〉5\\ a\left(t+1\right)\left(t-5\right),-1<t<5\end{array}\right.$，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出 $a$与 $b$的值；

（3）在 $l_2$上是否存在点 $A$，使得 $\mathit{\Delta ABC}$是直角三角形？若存在，请求出此时点 $A$的坐标和 $\mathit{\Delta ABC}$的面积；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线与 $x$轴交于 $(p,0)$， $(q,0)$，则该抛物线的解析式可以表示为：

$y=a(x-p)(x-q)=a{x}^2-a(p+q)x+\mathit{apq}$．

（1）若 $a=1$，抛物线与 $x$轴交于 $(1,0)$， $(5,0)$，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若 $a=-1$，如图（1）， $A(-1,0)$， $B(3,0)$，点 $M(m,0)$在线段 $\mathit{AB}$上，抛物线 $C_1$与 $x$轴交于 $A$， $M$，顶点为 $C$；抛物线 $C_2$与 $x$轴交于 $B$， $M$，顶点为 $D$．当 $A$， $C$， $D$三点在同一条直线上时，求 $m$的值；

（3）已知抛物线 $C_3$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$，线段 $\mathit{EF}$的端点 $E(0,3)$， $F(4,3)$．若抛物线 $C_3$与线段 $\mathit{EF}$有公共点，结合图象，在图（2）中探究 $a$的取值范围．

如图，已知抛物线 $y=a(x+6)(x-2)$过点 $C(0,2)$，交 $x$轴于点 $A$和点 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），抛物线的顶点为 $D$，对称轴 $\mathit{DE}$交 $x$轴于点 $E$，连接 $\mathit{EC}$．

（1）直接写出 $a$的值，点 $A$的坐标和抛物线对称轴的表达式；

（2）若点 $M$是抛物线对称轴 $\mathit{DE}$上的点，当 $\mathit{\Delta MCE}$是等腰三角形时，求点 $M$的坐标；

（3）点 $P$是抛物线上的动点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$，将 $\mathit{\Delta PCE}$沿 $\mathit{CE}$所在的直线对折，点 $P$落在坐标平面内的点 $P\text{'}$处．求当点 $P\text{'}$恰好落在直线 $\mathit{AD}$上时点 $P$的横坐标．

如图所示，拋物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且点 $A$的坐标为 $A(-2,0)$，点 $C$的坐标为 $C(0,6)$，对称轴为直线 $x=1$．点 $D$是抛物线上一个动点，设点 $D$的横坐标为 $m(1<m<4)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{DC}$， $\mathit{DB}$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积等于 $\mathit{\Delta AOC}$的面积的 $\frac{3}{4}$时，求 $m$的值；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$是 $x$轴上一动点，点 $N$是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 $M$，使得以点 $B$， $D$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．