初中数学解答题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$交 $x$轴于 $A$， $B$两点，交 $y$轴于点 $C$，且 $\mathit{OA}=2\mathit{OC}=8\mathit{OB}$．点 $P$是第三象限内抛物线上的一动点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若 $\mathit{PC}//\mathit{AB}$，求点 $P$的坐标；

（3）连接 $\mathit{AC}$，求 $\mathit{\Delta PAC}$面积的最大值及此时点 $P$的坐标．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3(a\ne 0)$ 与 $x$ 轴的交点 $A(-3,0)$ 和 $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，顶点为 $D$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{DC}$ ， $\mathit{CB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBC}$ 沿 $x$ 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△ $O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ ，点 $O$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为点 $O^{\text{'}}$ 、 $B^{\text{'}}$ 、 $C^{\text{'}}$ ，设平移时间为 $t$ 秒，当点 $O^{\text{'}}$ 与点 $A$ 重合时停止移动．记△ $O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ 与四边形 $\mathit{AOCD}$ 重合部分的面积为 $S$ ，请直接写出 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式；

（3）如图2，过该抛物线上任意一点 $M(m,n)$ 向直线 $l:y=\frac{9}{2}$ 作垂线，垂足为 $E$ ，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 $F$ ，使得 $\mathit{ME}-\mathit{MF}=\frac{1}{4}$ ？若存在，请求出 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $G:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(0<a<12)$ 过点 $A(1,c-5a)$ ， $B(x_1$ ， $3)$ ， $C(x_2$ ， $3)$ ．顶点 $D$ 不在第一象限，线段 $\mathit{BC}$ 上有一点 $E$ ，设 $\mathit{\Delta OBE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta OCE}$ 的面积为 $S_2$ ， $S_1=S_2+\frac{3}{2}$ ．

（1）用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

（2）求点 $E$ 的坐标：

（3）若直线 $\mathit{DE}$ 与抛物线 $G$ 的另一个交点 $F$ 的横坐标为 $\frac{6}{a}+3$ ，求 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 在 $1<x<6$ 时的取值范围（用含 $a$ 的式子表示）．

如图，抛物线 $y=\frac{3+\sqrt{3}}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ ， $B$ 分别位于原点的左、右两侧， $\mathit{BO}=3\mathit{AO}=3$ ，过点 $B$ 的直线与 $y$ 轴正半轴和抛物线的交点分别为 $C$ ， $D$ ， $\mathit{BC}=\sqrt{3}\mathit{CD}$ ．

（1）求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）求直线 $\mathit{BD}$ 的函数解析式；

（3）点 $P$ 在抛物线的对称轴上且在 $x$ 轴下方，点 $Q$ 在射线 $\mathit{BA}$ 上．当 $\mathit{\Delta ABD}$ 与 $\mathit{\Delta BPQ}$ 相似时，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

在平面直角坐标系中，正方形 $\mathit{ABCD}$的四个顶点坐标分别为 $A(-2,4)$， $B(-2,-2)$， $C(4,-2)$， $D(4,4)$．

（1）填空：正方形的面积为　　；当双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$与正方形 $\mathit{ABCD}$有四个交点时， $k$的取值范围是：　　；

（2）已知抛物线 $L:y=a{(x-m)}^2+n(a>0)$顶点 $P$在边 $\mathit{BC}$上，与边 $\mathit{AB}$， $\mathit{DC}$分别相交于点 $E$， $F$，过点 $B$的双曲线 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$与边 $\mathit{DC}$交于点 $N$．

①点 $Q(m,-m^2-2m+3)$是平面内一动点，在抛物线 $L$的运动过程中，点 $Q$随 $m$运动，分别求运动过程中点 $Q$在最高位置和最低位置时的坐标；

②当点 $F$在点 $N$下方， $\mathit{AE}=\mathit{NF}$，点 $P$不与 $B$， $C$两点重合时，求 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{BP}}-\frac{\mathit{CF}}{\mathit{CP}}$的值；

③求证：抛物线 $L$与直线 $x=1$的交点 $M$始终位于 $x$轴下方．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8a$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C(0,-4)$．

（1）点 $A$的坐标为　　，点 $B$的坐标为　　，线段 $\mathit{AC}$的长为　　，抛物线的解析式为　　．

（2）点 $P$是线段 $\mathit{BC}$下方抛物线上的一个动点．

①如果在 $x$轴上存在点 $Q$，使得以点 $B$、 $C$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形．求点 $Q$的坐标．

②如图2，过点 $P$作 $\mathit{PE}//\mathit{CA}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $P$作直线 $x=t$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，交 $x$轴于点 $G$，记 $\mathit{PE}=f$，求 $f$关于 $t$的函数解析式；当 $t$取 $m$和 $4-\frac{1}{2}m(0<m<2)$时，试比较 $f$的对应函数值 $f_1$和 $f_2$的大小．

如图，在直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$与 $x$轴， $y$轴分别交于点 $B$，点 $C$，对称轴为 $x=1$的抛物线过 $B$， $C$两点，且交 $x$轴于另一点 $A$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）直接写出点 $A$，点 $B$，点 $C$的坐标和抛物线的解析式；

（2）已知点 $P$为第一象限内抛物线上一点，当点 $P$到直线 $\mathit{BC}$的距离最大时，求点 $P$的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点 $Q$（点 $C$除外），使以点 $Q$， $A$， $B$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点且与 $x$轴的负半轴交于点 $C$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点 $D$为直线 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点，当 $\angle \mathit{ABD}=2\angle \mathit{BAC}$时，求点 $D$的坐标；

（3）已知 $E$， $F$分别是直线 $\mathit{AB}$和抛物线上的动点，当以 $B$， $O$， $E$， $F$为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的 $E$点的坐标．

在平面直角坐标系中，已知抛物线 $C:y=a{x}^2+2x-1(a\ne 0)$和直线 $l:y=\mathit{kx}+b$，点 $A(-3,-3)$， $B(1,-1)$均在直线 $l$上．

（1）若抛物线 $C$与直线 $l$有交点，求 $a$的取值范围；

（2）当 $a=-1$，二次函数 $y=a{x}^2+2x-1$的自变量 $x$满足 $m⩽x⩽m+2$时，函数 $y$的最大值为 $-4$，求 $m$的值；

（3）若抛物线 $C$与线段 $\mathit{AB}$有两个不同的交点，请直接写出 $a$的取值范围．

已知抛物线 $C_1:y={(x-1)}^2-4$和 $C_2:y=x^2$

（1）如何将抛物线 $C_1$平移得到抛物线 $C_2$？

（2）如图1，抛物线 $C_1$与 $x$轴正半轴交于点 $A$，直线 $y=-\frac{4}{3}x+b$经过点 $A$，交抛物线 $C_1$于另一点 $B$．请你在线段 $\mathit{AB}$上取点 $P$，过点 $P$作直线 $\mathit{PQ}//y$轴交抛物线 $C_1$于点 $Q$，连接 $\mathit{AQ}$．

①若 $\mathit{AP}=\mathit{AQ}$，求点 $P$的横坐标；

②若 $\mathit{PA}=\mathit{PQ}$，直接写出点 $P$的横坐标．

（3）如图2， $\mathit{\Delta MNE}$的顶点 $M$、 $N$在抛物线 $C_2$上，点 $M$在点 $N$右边，两条直线 $\mathit{ME}$、 $\mathit{NE}$与抛物线 $C_2$均有唯一公共点， $\mathit{ME}$、 $\mathit{NE}$均与 $y$轴不平行．若 $\mathit{\Delta MNE}$的面积为2，设 $M$、 $N$两点的横坐标分别为 $m$、 $n$，求 $m$与 $n$的数量关系．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,6)$，与 $x$轴交于点 $B(-2,0)$， $C(6,0)$．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$，设点 $P(m,n)$是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp \mathit{AC}$于点 $E$，交 $x$轴于点 $D$，过点 $P$作 $\mathit{PG}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$，交 $x$轴于点 $G$．设线段 $\mathit{DG}$的长为 $d$，求 $d$与 $m$的函数关系式，并注明 $m$的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若 $\mathit{\Delta PDG}$的面积为 $\frac{49}{12}$，

①求点 $P$的坐标；

②设 $M$为直线 $\mathit{AP}$上一动点，连接 $\mathit{OM}$，直线 $\mathit{OM}$交直线 $\mathit{AC}$于点 $S$，则点 $M$在运动过程中，在抛物线上是否存在点 $R$，使得 $\mathit{\Delta ARS}$为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 $M$及其对应的点 $R$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=a{(x-2)}^2+c$经过点 $A(-2,0)$和 $C(0,\frac{9}{4})$，与 $x$轴交于另一点 $B$，顶点为 $D$．

（1）求抛物线的解析式，并写出 $D$点的坐标；

（2）如图，点 $E$， $F$分别在线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{BD}$上 $(E$点不与 $A$， $B$重合），且 $\angle \mathit{DEF}=\angle A$，则 $\mathit{\Delta DEF}$能否为等腰三角形？若能，求出 $\mathit{BE}$的长；若不能，请说明理由；

（3）若点 $P$在抛物线上，且 $\frac{S_{\mathit{\Delta PBD}}}{S_{\mathit{\Delta CBD}}}=m$，试确定满足条件的点 $P$的个数．

如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $C$的坐标分别为 $(6,0)$， $(4,3)$，经过 $B$， $C$两点的抛物线与 $x$轴的一个交点 $D$的坐标为 $(1,0)$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若 $\angle \mathit{AOC}$的平分线交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交抛物线的对称轴于点 $F$，点 $P$是 $x$轴上一动点，当 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$的值最小时，求点 $P$的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点 $A$作 $\mathit{OE}$的垂线交 $\mathit{BC}$于点 $H$，点 $M$， $N$分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点 $M$， $N$，使得以点 $M$， $N$， $H$， $E$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点 $M$的坐标，若不存在，说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$顶点 $(2,-1)$，经过点 $(0,3)$，且与直线 $y=x-1$交于 $A$， $B$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若在抛物线上恰好存在三点 $Q$， $M$， $N$，满足 $S_{\mathit{\Delta QAB}}=S_{\mathit{\Delta MAB}}=S_{\mathit{\Delta NAB}}=S$，求 $S$的值；

（3）在 $A$， $B$之间的抛物线弧上是否存在点 $P$满足 $\angle \mathit{APB}=90°$？若存在，求点 $P$的横坐标；若不存在，请说明理由．

（坐标平面内两点 $M(x_1$， $y_1)$， $N(x_2$， $y_2)$之间的距离 $\mathit{MN}=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2})$

如图，已知抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-1,0)$、 $B(5,0)$．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点 $M$的坐标；

（2）若点 $C$在抛物线上，且点 $C$的横坐标为8，求四边形 $\mathit{AMBC}$的面积；

（3）定点 $D(0,m)$在 $y$轴上，若将抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点 $P$在新的抛物线上运动，求定点 $D$与动点 $P$之间距离的最小值 $d$（用含 $m$的代数式表示）