初中数学解答题

在等腰三角形 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，作 $\mathit{CM}\perp \mathit{AB}$交 $\mathit{AB}$于点 $M$， $\mathit{BN}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AC}$于点 $N$．

（1）在图1中，求证： $\mathit{\Delta BMC}\cong \mathit{\Delta CNB}$；

（2）在图2中的线段 $\mathit{CB}$上取一动点 $P$，过 $P$作 $\mathit{PE}//\mathit{AB}$交 $\mathit{CM}$于点 $E$，作 $\mathit{PF}//\mathit{AC}$交 $\mathit{BN}$于点 $F$，求证： $\mathit{PE}+\mathit{PF}=\mathit{BM}$；

（3）在图3中动点 $P$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上，类似（2）过 $P$作 $\mathit{PE}//\mathit{AB}$交 $\mathit{CM}$的延长线于点 $E$，作 $\mathit{PF}//\mathit{AC}$交 $\mathit{NB}$的延长线于点 $F$，求证： $\mathit{AM}·\mathit{PF}+\mathit{OM}·\mathit{BN}=\mathit{AM}·\mathit{PE}$．

如图，顶点为 $M$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与 $x$轴交于 $A(3,0)$， $B(-1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在 $y$轴上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAM}$为直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点 $D$，满足 $\mathit{DA}=\mathit{OA}$，过 $D$作 $\mathit{DG}\perp x$轴于点 $G$，设 $\mathit{\Delta ADG}$的内心为 $I$，试求 $\mathit{CI}$的最小值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+4$的对称轴是直线 $x=3$，与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点（点 $B$在点 $A$右侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式和 $A$， $B$两点的坐标；

（2）如图1，若点 $P$是抛物线上 $B$、 $C$两点之间的一个动点（不与 $B$、 $C$重合），是否存在点 $P$，使四边形 $\mathit{PBOC}$的面积最大？若存在，求点 $P$的坐标及四边形 $\mathit{PBOC}$面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点 $M$是抛物线上任意一点，过点 $M$作 $y$轴的平行线，交直线 $\mathit{BC}$于点 $N$，当 $\mathit{MN}=3$时，求点 $M$的坐标．

如图，顶点为 $M$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp y$轴交抛物线于另一点 $D$，作 $\mathit{DE}\perp x$轴，垂足为点 $E$，双曲线 $y=\frac{6}{x}(x>0)$经过点 $D$，连接 $\mathit{MD}$， $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点 $N$， $F$分别是 $x$轴， $y$轴上的两点，当以 $M$， $D$， $N$， $F$为顶点的四边形周长最小时，求出点 $N$， $F$的坐标；

（3）动点 $P$从点 $O$出发，以每秒1个单位长度的速度沿 $\mathit{OC}$方向运动，运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时， $\angle \mathit{BPD}$的度数最大？（请直接写出结果）

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xoy}$中， $O$为坐标原点，点 $A(4,0)$，点 $B(0,4)$， $\mathit{\Delta ABO}$的中线 $\mathit{AC}$与 $y$轴交于点 $C$，且 $\odot M$经过 $O$， $A$， $C$三点．

（1）求圆心 $M$的坐标；

（2）若直线 $\mathit{AD}$与 $\odot M$相切于点 $A$，交 $y$轴于点 $D$，求直线 $\mathit{AD}$的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，在过点 $B$且以圆心 $M$为顶点的抛物线上有一动点 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PE}//y$轴，交直线 $\mathit{AD}$于点 $E$．若以 $\mathit{PE}$为半径的 $\odot P$与直线 $\mathit{AD}$相交于另一点 $F$．当 $\mathit{EF}=4\sqrt{5}$时，求点 $P$的坐标．

（1）方法选择

如图①，四边形 $\mathit{ABCD}$是 $\odot O$的内接四边形，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=\mathit{AC}$．求证： $\mathit{BD}=\mathit{AD}+\mathit{CD}$．

小颖认为可用截长法证明：在 $\mathit{DB}$上截取 $\mathit{DM}=\mathit{AD}$，连接 $\mathit{AM}\dots$

小军认为可用补短法证明：延长 $\mathit{CD}$至点 $N$，使得 $\mathit{DN}=\mathit{AD}\dots$

请你选择一种方法证明．

（2）类比探究

[探究1]

如图②，四边形 $\mathit{ABCD}$是 $\odot O$的内接四边形，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．试用等式表示线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间的数量关系，并证明你的结论．

[探究2]

如图③，四边形 $\mathit{ABCD}$是 $\odot O$的内接四边形，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$．若 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径， $\angle \mathit{ABC}=30°$，则线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间的等量关系式是　 $\mathit{BD}=\sqrt{3}\mathit{CD}+2\mathit{AD}$　．

（3）拓展猜想

如图④，四边形 $\mathit{ABCD}$是 $\odot O$的内接四边形，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$．若 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{BC}:\mathit{AC}:\mathit{AB}=a:b:c$，则线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间的等量关系式是　　．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是正方形， $\mathit{\Delta EFC}$是等腰直角三角形，点 $E$在 $\mathit{AB}$上，且 $\angle \mathit{CEF}=90°$， $\mathit{FG}\perp \mathit{AD}$，垂足为点 $G$．

（1）试判断 $\mathit{AG}$与 $\mathit{FG}$是否相等？并给出证明；

（2）若点 $H$为 $\mathit{CF}$的中点， $\mathit{GH}$与 $\mathit{DH}$垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y=-5x+5$与 $x$轴， $y$轴分别交于 $A$， $C$两点，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $C$两点，与 $x$轴的另一交点为 $B$．

（1）求抛物线解析式及 $B$点坐标；

（2）若点 $M$为 $x$轴下方抛物线上一动点，连接 $\mathit{MA}$、 $\mathit{MB}$、 $\mathit{BC}$，当点 $M$运动到某一位置时，四边形 $\mathit{AMBC}$面积最大，求此时点 $M$的坐标及四边形 $\mathit{AMBC}$的面积；

（3）如图2，若 $P$点是半径为2的 $\odot B$上一动点，连接 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PA}$，当点 $P$运动到某一位置时， $\mathit{PC}+\frac{1}{2}\mathit{PA}$的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

已知：如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=10\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$， $\mathit{OD}$垂直平分 $A$ $C$．点 $P$从点 $B$出发，沿 $\mathit{BA}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；同时，点 $Q$从点 $D$出发，沿 $\mathit{DC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AB}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $Q$作 $\mathit{QF}//\mathit{AC}$，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{OD}$于点 $F$， $G$．连接 $\mathit{OP}$， $\mathit{EG}$．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<5)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时，点 $E$在 $\angle \mathit{BAC}$的平分线上？

（2）设四边形 $\mathit{PEGO}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使四边形 $\mathit{PEGO}$的面积最大？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OQ}$，在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{OE}\perp \mathit{OQ}$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，直线 $y=x+2$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a<0)$经过点 $A$、 $B$．

（1）求 $a$、 $b$满足的关系式及 $c$的值．

（2）当 $x<0$时，若 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a<0)$的函数值随 $x$的增大而增大，求 $a$的取值范围．

（3）如图，当 $a=-1$时，在抛物线上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PAB}$的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-2,0)$，点 $B(4,0)$，与 $y$轴交于点 $C(0,8)$，连接 $\mathit{BC}$．又已知位于 $y$轴右侧且垂直于 $x$轴的动直线 $l$，沿 $x$轴正方向从 $O$运动到 $B$（不含 $O$点和 $B$点），且分别交抛物线、线段 $\mathit{BC}$以及 $x$轴于点 $P$， $D$， $E$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{AP}$，当直线 $l$运动时，求使得 $\mathit{\Delta PEA}$和 $\mathit{\Delta AOC}$相似的点 $P$的坐标；

（3）作 $\mathit{PF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$，当直线 $l$运动时，求 $\text{Rt}\Delta \text{PFD}$面积的最大值．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=8$， $\mathit{AD}=10$， $E$是 $\mathit{CD}$边上一点，连接 $\mathit{AE}$，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{AE}$折叠，顶点 $D$恰好落在 $\mathit{BC}$边上点 $F$处，延长 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $G$．

（1）求线段 $\mathit{CE}$的长；

（2）如图2， $M$， $N$分别是线段 $\mathit{AG}$， $\mathit{DG}$上的动点（与端点不重合），且 $\angle \mathit{DMN}=\angle \mathit{DAM}$，设 $\mathit{AM}=x$， $\mathit{DN}=y$．

①写出 $y$关于 $x$的函数解析式，并求出 $y$的最小值；

②是否存在这样的点 $M$，使 $\mathit{\Delta DMN}$是等腰三角形？若存在，请求出 $x$的值；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}$经过点 $A(-4,0)$、 $B(-1,3)$两点， $G$是其顶点，将抛物线 $C$绕点 $O$旋转 $180°$，得到新的抛物线 $C\text{'}$．

（1）求抛物线 $C$的函数解析式及顶点 $G$的坐标；

（2）如图2，直线 $l:y=\mathit{kx}-\frac{12}{5}$经过点 $A$， $D$是抛物线 $C$上的一点，设 $D$点的横坐标为 $m(m<-2)$，连接 $\mathit{DO}$并延长，交抛物线 $C\text{'}$于点 $E$，交直线 $l$于点 $M$，若 $\mathit{DE}=2\mathit{EM}$，求 $m$的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{AG}$、 $\mathit{AB}$，在直线 $\mathit{DE}$下方的抛物线 $C$上是否存在点 $P$，使得 $\angle \mathit{DEP}=\angle \mathit{GAB}$？若存在，求出点 $P$的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-3,0)$， $B(1,0)$， $C(0,3)$三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1， $P$为抛物线上在第二象限内的一点，若 $\mathit{\Delta PAC}$面积为3，求点 $P$的坐标；

（3）如图2， $D$为抛物线的顶点，在线段 $\mathit{AD}$上是否存在点 $M$，使得以 $M$， $A$， $O$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若存在，求点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,-2)$，点 $A$的坐标是 $(2,0)$， $P$为抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$，抛物线的对称轴是直线 $x=-1$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $P$在第二象限内，且 $\mathit{PE}=\frac{1}{4}\mathit{OD}$，求 $\mathit{\Delta PBE}$的面积．

（3）在（2）的条件下，若 $M$为直线 $\mathit{BC}$上一点，在 $x$轴的上方，是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta BDM}$是以 $\mathit{BD}$为腰的等腰三角形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．