初中数学解答题

如图①，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A(-2,2)$， $B(-2,0)$， $C(0,2)$， $D(2,0)$四点，动点 $M$以每秒 $\sqrt{2}$个单位长度的速度沿 $B\to C\to D$运动 $(M$不与点 $B$、点 $D$重合），设运动时间为 $t$（秒 $)$．

（1）求经过 $A$、 $C$、 $D$三点的抛物线的解析式；

（2）点 $P$在（1）中的抛物线上，当 $M$为 $\mathit{BC}$的中点时，若 $\mathit{\Delta PAM}\cong \mathit{\Delta PBM}$，求点 $P$的坐标；

（3）当 $M$在 $\mathit{CD}$上运动时，如图②．过点 $M$作 $\mathit{MF}\perp x$轴，垂足为 $F$， $\mathit{ME}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$．设矩形 $\mathit{MEBF}$与 $\mathit{\Delta BCD}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式，并求出 $S$的最大值；

（4）点 $Q$为 $x$轴上一点，直线 $\mathit{AQ}$与直线 $\mathit{BC}$交于点 $H$，与 $y$轴交于点 $K$．是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta HOK}$为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+c$的图象经过点 $C(0,-2)$，顶点 $D$的坐标为 $(1,-\frac{8}{3})$，与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接 $\mathit{AC}$， $E$为直线 $\mathit{AC}$上一点，当 $\mathit{\Delta AOC}\backsim \mathit{\Delta AEB}$时，求点 $E$的坐标和 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AB}}$的值．

（3）点 $F(0,y)$是 $y$轴上一动点，当 $y$为何值时， $\frac{\sqrt{5}}{5}\mathit{FC}+\mathit{BF}$的值最小．并求出这个最小值．

（4）点 $C$关于 $x$轴的对称点为 $H$，当 $\frac{\sqrt{5}}{5}\mathit{FC}+\mathit{BF}$取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点 $Q$，使 $\mathit{\Delta QHF}$是直角三角形？若存在，请求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $\mathit{AB}=4$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，对称轴是直线 $x=1$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $C$ 的坐标；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ， $E$ 是线段 $\mathit{OC}$ 上一点， $E$ 关于直线 $x=1$ 的对称点 $F$ 正好落在 $\mathit{BC}$ 上，求点 $F$ 的坐标；

（3）动点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $N$ ，交线段 $\mathit{BC}$ 于点 $Q$ ．设运动时间为 $t(t>0)$ 秒．

①若 $\mathit{\Delta AOC}$ 与 $\mathit{\Delta BMN}$ 相似，请直接写出 $t$ 的值；

② $\mathit{\Delta BOQ}$ 能否为等腰三角形？若能，求出 $t$ 的值；若不能，请说明理由．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$

（1）若 $a=1$ ， $b=-2$ ， $c=-1$

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数 $y=p{x}^2+\mathit{qx}+r(p\ne 0)$ ，满足方程 $y=x$ 的 $x$ 的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 有两个不同的"不动点"．

（2）设 $b=\frac{1}{2}{c}^3$ ，如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴分别相交于不同的两点 $A(x_1$ ， $0)$ ， $B(x_2$ ， $0)$ ，其中 $x_1<0$ ， $x_2>0$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连结 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$ ，又点 $E$ 的坐标为 $(1,0)$ ，过点 $D$ 作垂直于 $y$ 轴的直线与直线 $\mathit{CE}$ 相交于点 $F$ ，满足 $\angle \mathit{AFC}=\angle \mathit{ABC}$ ． $\mathit{FA}$ 的延长线与 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{PA}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5a^2+1}}$ ，求二次函数的表达式．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+6\mathit{ax}(a$为常数， $a>0)$与 $x$轴交于 $O$， $A$两点，点 $B$为抛物线的顶点，点 $D$的坐标为 $(t$， $0\left)\right(-3<t<0)$，连接 $\mathit{BD}$并延长与过 $O$， $A$， $B$三点的 $\odot P$相交于点 $C$．

（1）求点 $A$的坐标；

（2）过点 $C$作 $\odot P$的切线 $\mathit{CE}$交 $x$轴于点 $E$．

①如图1，求证： $\mathit{CE}=\mathit{DE}$；

②如图2，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{BO}$，当 $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$， $\angle \mathit{CAE}=\angle \mathit{OBE}$时，求 $\frac{1}{\mathit{OD}}-\frac{1}{\mathit{OE}}$的值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$过点 $A(1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{OC}=3$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）过点 $A$作 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $M$，求证：四边形 $\mathit{ADBM}$为正方形；

（3）点 $P$为抛物线在直线 $\mathit{BC}$下方图形上的一动点，当 $\mathit{\Delta PBC}$面积最大时，求点 $P$的坐标；

（4）若点 $Q$为线段 $\mathit{OC}$上的一动点，问： $\mathit{AQ}+\frac{1}{2}\mathit{QC}$是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

如图1， $\mathit{\Delta AOB}$的三个顶点 $A$、 $O$、 $B$分别落在抛物线 $F_1:y=\frac{1}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x$的图象上，点 $A$的横坐标为 $-4$，点 $B$的纵坐标为 $-2$．（点 $A$在点 $B$的左侧）

（1）求点 $A$、 $B$的坐标；

（2）将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$逆时针旋转 $90°$得到△ $A^{\text{'}}O{B}^{\text{'}}$，抛物线 $F_2:y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$经过 $A^{\text{'}}$、 $B^{\text{'}}$两点，已知点 $M$为抛物线 $F_2$的对称轴上一定点，且点 $A^{\text{'}}$恰好在以 $\mathit{OM}$为直径的圆上，连接 $\mathit{OM}$、 $A^{\text{'}}M$，求△ $O{A}^{\text{'}}M$的面积；

（3）如图2，延长 $O{B}^{\text{'}}$交抛物线 $F_2$于点 $C$，连接 $A^{\text{'}}C$，在坐标轴上是否存在点 $D$，使得以 $A$、 $O$、 $D$为顶点的三角形与△ $O{A}^{\text{'}}C$相似．若存在，请求出点 $D$的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）

（2）若将一边长为1的正方形按如图2﹣1所示剪开，恰好能拼成如图2﹣2所示的矩形，则m的值是多少？

（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3﹣1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3﹣2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$．若不改变矩形 $\mathit{ABCD}$的形状和大小，当矩形顶点 $A$在 $x$轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点 $D$始终在 $y$轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当 $\angle \mathit{OAD}=30°$时，求点 $C$的坐标；

（2）设 $\mathit{AD}$的中点为 $M$，连接 $\mathit{OM}$、 $\mathit{MC}$，当四边形 $\mathit{OMCD}$的面积为 $\frac{21}{2}$时，求 $\mathit{OA}$的长；

（3）当点 $A$移动到某一位置时，点 $C$到点 $O$的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时 $\cos \angle \mathit{OAD}$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a>0)$过点 $E(8,0)$，矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在线段 $\mathit{OE}$上（点 $A$在点 $B$的左侧），点 $C$、 $D$在抛物线上， $\angle \mathit{BAD}$的平分线 $\mathit{AM}$交 $\mathit{BC}$于点 $M$，点 $N$是 $\mathit{CD}$的中点，已知 $\mathit{OA}=2$，且 $\mathit{OA}:\mathit{AD}=1:3$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $F$、 $G$分别为 $x$轴， $y$轴上的动点，顺次连接 $M$、 $N$、 $G$、 $F$构成四边形 $\mathit{MNGF}$，求四边形 $\mathit{MNGF}$周长的最小值；

（3）在 $x$轴下方且在抛物线上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta ODP}$中 $\mathit{OD}$边上的高为 $\frac{6\sqrt{10}}{5}$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形 $\mathit{ABCD}$不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 $K$、 $L$，且直线 $\mathit{KL}$平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图一，在射线 $\mathit{DE}$的一侧以 $\mathit{AD}$为一条边作矩形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AD}=5\sqrt{3}$， $\mathit{CD}=5$，点 $M$是线段 $\mathit{AC}$上一动点（不与点 $A$重合），连结 $\mathit{BM}$，过点 $M$作 $\mathit{BM}$的垂线交射线 $\mathit{DE}$于点 $N$，连接 $\mathit{BN}$．

（1）求 $\angle \mathit{CAD}$的大小；

（2）问题探究：动点 $M$在运动的过程中，

①是否能使 $\mathit{\Delta AMN}$为等腰三角形，如果能，求出线段 $\mathit{MC}$的长度；如果不能，请说明理由．

② $\angle \mathit{MBN}$的大小是否改变？若不改变，请求出 $\angle \mathit{MBN}$的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点 $M$运动到 $\mathit{AC}$的中点时， $\mathit{AM}$与 $\mathit{BN}$的交点为 $F$， $\mathit{MN}$的中点为 $H$，求线段 $\mathit{FH}$的长度．

如图，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过原点，与 $x$轴的另一个交点为 $(8,0)$

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在 $x$轴上方作 $x$轴的平行线 $y_1=m$，交二次函数图象于 $A$、 $B$两点，过 $A$、 $B$两点分别作 $x$轴的垂线，垂足分别为点 $D$、点 $C$．当矩形 $\mathit{ABCD}$为正方形时，求 $m$的值；

（3）在（2）的条件下，动点 $P$从点 $A$出发沿射线 $\mathit{AB}$以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点 $Q$以相同的速度从点 $A$出发沿线段 $\mathit{AD}$匀速运动，到达点 $D$时立即原速返回，当动点 $Q$返回到点 $A$时， $P$、 $Q$两点同时停止运动，设运动时间为 $t$秒 $(t>0)$．过点 $P$向 $x$轴作垂线，交抛物线于点 $E$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $F$，问：以 $A$、 $E$、 $F$、 $Q$四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出 $t$的值；若不能，请说明理由．

如图，在直角坐标系中有 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$， $O$为坐标原点， $\mathit{OB}=1$， $\tan \angle \mathit{ABO}=3$，将此三角形绕原点 $O$顺时针旋转 $90°$，得到 $\text{Rt}\Delta \text{COD}$，二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象刚好经过 $A$， $B$， $C$三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点 $P$的坐标；

（2）过定点 $Q$的直线 $l:y=\mathit{kx}-k+3$与二次函数图象相交于 $M$， $N$两点．

①若 $S_{\mathit{\Delta PMN}}=2$，求 $k$的值；

②证明：无论 $k$为何值， $\mathit{\Delta PMN}$恒为直角三角形；

③当直线 $l$绕着定点 $Q$旋转时， $\mathit{\Delta PMN}$外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

如图，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $A$出发以 $1\mathit{cm}/s$的速度沿 $\mathit{AB}$匀速运动．动点 $Q$同时从点 $C$出发以同样的速度沿 $\mathit{BC}$的延长线方向匀速运动，当点 $P$到达点 $B$时，点 $P$、 $Q$同时停止运动．设运动时间为 $t\left(s\right)$．过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AC}$于 $E$，连接 $\mathit{PQ}$交 $\mathit{AC}$边于 $D$．以 $\mathit{CQ}$、 $\mathit{CE}$为边作平行四边形 $\mathit{CQFE}$．

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta BPQ}$为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻 $t$，使点 $F$在 $\angle \mathit{ABC}$的平分线上？若存在，求出 $t$的值，若不存在，请说明理由；

（3）求 $\mathit{DE}$的长；

（4）取线段 $\mathit{BC}$的中点 $M$，连接 $\mathit{PM}$，将 $\mathit{\Delta BPM}$沿直线 $\mathit{PM}$翻折，得△ $B\text{'}\mathit{PM}$，连接 $\mathit{AB}\text{'}$，当 $t$为何值时， $A{B}^{\text{'}}$的值最小？并求出最小值．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与 $x$轴分别交于 $A(-3,0)$， $B(1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线的表达式及顶点 $D$的坐标；

（2）点 $F$是线段 $\mathit{AD}$上一个动点．

①如图1，设 $k=\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AD}}$，当 $k$为何值时， $\mathit{CF}=\frac{1}{2}\mathit{AD}$？

②如图2，以 $A$， $F$， $O$为顶点的三角形是否与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？若相似，求出点 $F$的坐标；若不相似，请说明理由．