如图,在平面直角坐标系中,直线 与坐标轴交于 , 两点,点 在 轴上,点 在 轴上, 点的坐标为 ,抛物线 经过点 , , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)根据图象写出不等式 的解集;
(3)点 是抛物线上的一动点,过点 作直线 的垂线段,垂足为 点.当 时,求 点的坐标.
如图,抛物线 与 轴交于点 , ,与 轴交于点 ,已知 , 两点坐标分别是 , ,连接 , .
(1)求抛物线的表达式和 所在直线的表达式;
(2)将 沿 所在直线折叠,得到 ,点 的对应点 是否落在抛物线的对称轴上,若点 在对称轴上,请求出点 的坐标;若点 不在对称轴上,请说明理由;
(3)若点 是抛物线位于第三象限图象上的一动点,连接 交 于点 ,连接 , 的面积记为 , 的面积记为 ,求 的值最大时点 的坐标.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过坐标原点,与 轴正半轴交于点 ,点 是抛物线上一动点.
(1)如图1,当 , ,且 时,
①求点 的坐标;
②若点 , 在该抛物线上,连接 , , 是线段 上一动点(点 与点 , 不重合),过点 作 ,交 轴于点 ,线段 与 是否相等?请说明理由;
(2)如图2,该抛物线的对称轴交 轴于点 ,点 在对称轴上,当 , ,且直线 交 轴的负半轴于点 时,过点 作 轴的垂线,交直线 于点 , 为 轴上一点,点 的坐标为 ,连接 .若 ,求证:射线 平分 .
如图,抛物线 经过点 , ,与 轴正半轴交于点 ,且 ,抛物线的顶点为 ,对称轴交 轴于点 .直线 经过 , 两点.
(1)求抛物线及直线 的函数表达式;
(2)点 是抛物线对称轴上一点,当 的值最小时,求出点 的坐标及 的最小值;
(3)连接 ,若点 是抛物线上对称轴右侧一点,点 是直线 上一点,试探究是否存在以点 为直角顶点的 ,且满足 .若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)已知 , 如图①摆放,点 , , 在同一条直线上, , .连接 ,过点 作 ,垂足为点 ,直线 交 于点 .求证: .
(2)已知 , 如图②摆放, , .连接 , ,过点 作 ,垂足为点 ,直线 交 于点 .求 的值.
如图,在四边形 中, , , , 是对角线 的中点,联结 并延长交边 或边 于点 .
(1)当点 在 上,
①求证: ;
②若 ,求 的值;
(2)若 , ,求 的长.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过坐标原点,与 轴正半轴交于点 ,点 是抛物线上一动点.
(1)如图1,当 , ,且 时,
①求点 的坐标;
②若点 , 在该抛物线上,连接 , , 是线段 上一动点(点 与点 , 不重合),过点 作 ,交 轴于点 ,线段 与 是否相等?请说明理由;
(2)如图2,该抛物线的对称轴交 轴于点 ,点 在对称轴上,当 , ,且直线 交 轴的负半轴于点 时,过点 作 轴的垂线,交直线 于点 , 为 轴上一点,点 的坐标为 ,连接 .若 ,求证:射线 平分 .
已知二次函数 的图象开口向上,且经过点 , .
(1)求 的值(用含 的代数式表示);
(2)若二次函数 在 时, 的最大值为1,求 的值;
(3)将线段 向右平移2个单位得到线段 .若线段 与抛物线 仅有一个交点,求 的取值范围.
如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C,CD∥x轴交抛物线于点D,M为抛物线的顶点.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)设动点N(﹣2,n),求使MN+BN的值最小时n的值;
(3)P是抛物线上一点,请你探究:是否存在点P,使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似(△PAB与△ABD不重合)?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
如图,二次函数()的图象经过点(0,3),且当x=1时,y有最小值2.
(1)求a,b,c的值;
(2)设二次函数(k为实数),它的图象的顶点为D.
①当k=1时,求二次函数的图象与x轴的交点坐标;
②请在二次函数与的图象上各找出一个点M,N,不论k取何值,这两个点始终关于x轴对称,直接写出点M,N的坐标(点M在点N的上方);
③过点M的一次函数的图象与二次函数的图象交于另一点P,当k为何值时,点D在∠NMP的平分线上?
④当k取﹣2,﹣1,0,1,2时,通过计算,得到对应的抛物线的顶点分别为(﹣1,﹣6,),(0,﹣5),(1,﹣2),(2,3),(3,10),请问:顶点的横、纵坐标是变量吗?纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的?
已知抛物线 .
(1)通过配方可以将其化成顶点式为 ,根据该抛物线在对称轴两侧从左到右图象的特征,可以判断,当顶点在 轴 (填上方或下方),即 0(填大于或小于)时,该抛物线与 轴必有两个交点;
(2)若抛物线上存在两点 , , , ,分布在 轴的两侧,则抛物线顶点必在 轴下方,请你结合 、 两点在抛物线上的可能位置,根据二次函数的性质,对这个结论的正确性给以说明;(为了便于说明,不妨设 且都不等于顶点的横坐标;另如果需要借助图象辅助说明,可自己画出简单示意图)
(3)根据二次函数(1)(2)结论,求证:当 , 时, .
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与 轴分别交于 、 两点,与 轴交于点 ,抛物线的顶点坐标为 ,连结 、 、 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)判断 的形状,并说明理由;
(3)如图2,以 为圆心, 为半径作 ,在 上是否存在点 ,使得 的值最小,若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
如图,在菱形 中, 是锐角, 是 边上的动点,将射线 绕点 按逆时针方向旋转,交直线 于点 .
(1)当 , 时,
①求证: ;
②连结 , ,若 ,求 的值;
(2)当 时,延长 交射线 于点 ,延长 交射线 于点 ,连结 , ,若 , ,则当 为何值时, 是等腰三角形.
如图, 是半径为3的 的一条弦, ,点 是 上的一个动点(不与点 , 重合),以 , , 为顶点作 .
(1)如图2,若点 是劣弧 的中点.
①求证: 是菱形;
②求 的面积.
(2)若点 运动到优弧 上,且 有一边与 相切.
①求 的长;
②写出 对角线所夹锐角的正切值.
试题篮
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