如图,在四边形 中, , , , 是对角线 的中点,联结 并延长交边 或边 于点 .
(1)当点 在 上,
①求证: ;
②若 ,求 的值;
(2)若 , ,求 的长.
已知二次函数 .
(1)当该二次函数的图象经过点 时,求该二次函数的表达式;
(2)在(1)的条件下,二次函数图象与 轴的另一个交点为点 ,与 轴的交点为点 ,点 从点 出发在线段 上以每秒2个单位长度的速度向点 运动,同时点 从点 出发,在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点 运动,直到其中一点到达终点时,两点停止运动,求 面积的最大值;
(3)若对满足 的任意实数 ,都使得 成立,求实数 的取值范围.
如图,已知二次函数的图象与 轴交于 和 两点,与 轴交于 ,对称轴为直线 ,直线 经过点 ,且与 轴交于点 ,与抛物线交于点 ,与对称轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式和 的值;
(2)在 轴上是否存在点 ,使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似,若存在,求出点 的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)直线 上有 、 两点 在 的左侧),且 ,若将线段 在直线 上平移,当它移动到某一位置时,四边形 的周长会达到最小,请求出周长的最小值(结果保留根号).
如图,抛物线 (其中 与 轴交于 、 两点,交 轴于点 .
(1)写出 的度数和线段 的长(用 表示);
(2)若点 为 的外心,且 与 的周长之比为 ,求此抛物线的解析式;
(3)在(2)的前提下,试探究抛物线 上是否存在一点 ,使得 ?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
问题提出
(1)如图1,在 中, , , , 是 的中点,点 在 上,且 ,求四边形 的面积.(结果保留根号)
问题解决
(2)某市进行河滩治理,优化美化人居生态环境.如图2所示,现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园 .按设计要求,要在五边形河畔公园 内挖一个四边形人工湖 ,使点 、 、 、 分别在边 、 、 、 上,且满足 , .已知五边形 中, , , , , .为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要,想让人工湖面积尽可能小.请问,是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 ?若存在,求四边形 面积的最小值及这时点 到点 的距离;若不存在,请说明理由.
在平面直角坐标系中,点 的坐标为 , ,点 在直线 上,过点 作 的垂线,过原点 作直线 的垂线,两垂线相交于点 .
(1)如图,点 , 分别在第三、二象限内, 与 相交于点 .
①若 ,求证: .
②若 ,求四边形 的面积.
(2)是否存在点 ,使得以 , , 为顶点的三角形与 相似?若存在,求 的长;若不存在,请说明理由.
小王在学习浙教版九上课本第72页例2后,进一步开展探究活动:将一个矩形 绕点 顺时针旋转 ,得到矩形 ,连结 .
探究 如图1,当 时,点 恰好在 延长线上.若 ,求 的长.
探究 如图2,连结 ,过点 作 交 于点 .线段 与 相等吗?请说明理由.
探究 在探究2的条件下,射线 分别交 , 于点 , (如图 ,发现线段 , , 存在一定的数量关系,请写出这个关系式,并加以证明.
【推理】
如图1,在正方形 中,点 是 上一动点,将正方形沿着 折叠,点 落在点 处,连结 , ,延长 交 于点 .
(1)求证: .
【运用】
(2)如图2,在【推理】条件下,延长 交 于点 .若 , ,求线段 的长.
【拓展】
(3)将正方形改成矩形,同样沿着 折叠,连结 ,延长 , 交直线 于 , 两点,若 , ,求 的值(用含 的代数式表示).
已知在平面直角坐标系 中,点 是反比例函数 图象上的一个动点,连结 , 的延长线交反比例函数 的图象于点 ,过点 作 轴于点 .
(1)如图1,过点 作 轴,于点 ,连接 .
①若 ,求证:四边形 是平行四边形;
②连结 ,若 ,求 的面积.
(2)如图2,过点 作 ,交反比例函数 的图象于点 ,连结 .试探究:对于确定的实数 ,动点 在运动过程中, 的面积是否会发生变化?请说明理由.
如图所示,抛物线与 轴交于 、 两点,与 轴交于点 ,且 , , ,抛物线的对称轴与直线 交于点 ,与 轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点 是对称轴上的一个动点,是否存在以 、 、 为顶点的三角形与 相似?若存在,求出点 的坐标,若不存在,请说明理由;
(3) 为 的中点,一个动点 从 点出发,先到达 轴上的点 ,再走到抛物线对称轴上的点 ,最后返回到点 .要使动点 走过的路程最短,请找出点 、 的位置,写出坐标,并求出最短路程.
(4)点 是抛物线上位于 轴上方的一点,点 在 轴上,是否存在以点 为直角顶点的等腰 ?若存在,求出点 的坐标,若不存在,请说明理由.
如图,在直角坐标系中,二次函数 的图象与 轴相交于点 和点 ,与 轴交于点 .
(1)求 、 的值;
(2)点 为抛物线上的动点,过 作 轴的垂线交直线 于点 .
①当 时,求当 点到直线 的距离最大时 的值;
②是否存在 ,使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形,若不存在,请说明理由;若存在,请求出 的值.
综合与探究
如图,抛物线 与 轴交于 , 两点(点 在点 的左侧),与 轴交于点 ,连接 , .
(1)求 、 , 三点的坐标并直接写出直线 , 的函数表达式.
(2)点 是直线 下方抛物线上的一个动点,过点 作 的平行线 ,交线段 于点 .
①试探究:在直线 上是否存在点 ,使得以点 , , , 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点 的坐标,若不存在,请说明理由;
②设抛物线的对称轴与直线 交于点 ,与直线 交于点 .当 时,请直接写出 的长.
已知抛物线 经过点 ,当 时, 随 的增大而增大,当 时, 随 的增大而减小.设 是抛物线 与 轴的交点(交点也称公共点)的横坐标, .
(1)求 、 的值;
(2)求证: ;
(3)以下结论: , , ,你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.
如图, 是半径为3的 的一条弦, ,点 是 上的一个动点(不与点 , 重合),以 , , 为顶点作 .
(1)如图2,若点 是劣弧 的中点.
①求证: 是菱形;
②求 的面积.
(2)若点 运动到优弧 上,且 有一边与 相切.
①求 的长;
②写出 对角线所夹锐角的正切值.
试题篮
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