在几何体表面上,蚂蚁怎样爬行路径最短?
(1)如图①,圆锥的母线长为 , 为母线 的中点,点 在底面圆周上, 的长为 .在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点 爬行到点 的最短路径,并标出它的长(结果保留根号).
(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成. 是圆锥的顶点,点 在圆柱的底面圆周上,设圆锥的母线长为 ,圆柱的高为 .
①蚂蚁从点 爬行到点 的最短路径的长为 (用含 , 的代数式表示).
②设 的长为 ,点 在母线 上, .圆柱的侧面展开图如图④所示,在图中画出蚂蚁从点 爬行到点 的最短路径的示意图,并写出求最短路径的长的思路.
已知二次函数 .
(1)若 , ,求方程 的根的判别式的值;
(2)如图所示,该二次函数的图象与 轴交于点 , 、 , ,且 ,与 轴的负半轴交于点 ,点 在线段 上,连接 、 ,满足 , .
①求证: ;
②连接 ,过点 作 于点 ,点 在 轴的负半轴上,连接 ,且 ,求 的值.
学习了图形的旋转之后,小明知道,将点 绕着某定点 顺时针旋转一定的角度 ,能得到一个新的点 ,经过进一步探究,小明发现,当上述点 在某函数图象上运动时,点 也随之运动,并且点 的运动轨迹能形成一个新的图形.
试根据下列各题中所给的定点 的坐标、角度 的大小来解决相关问题.
【初步感知】
如图1,设 , ,点 是一次函数 图象上的动点,已知该一次函数的图象经过点 .
(1)点 旋转后,得到的点 的坐标为 ;
(2)若点 的运动轨迹经过点 ,求原一次函数的表达式.
【深入感悟】
如图2,设 , ,点 是反比例函数 的图象上的动点,过点 作二、四象限角平分线的垂线,垂足为 ,求 的面积.
【灵活运用】
如图3,设 , ,点 是二次函数 图象上的动点,已知点 、 ,试探究 的面积是否有最小值?若有,求出该最小值;若没有,请说明理由.
已知四边形 是边长为1的正方形,点 是射线 上的动点,以 为直角边在直线 的上方作等腰直角三角形 , ,设 .
(1)如图,若点 在线段 上运动, 交 于点 , 交 于点 ,连结 ,
①当 时,求线段 的长;
②在 中,设边 上的高为 ,请用含 的代数式表示 ,并求 的最大值;
(2)设过 的中点且垂直于 的直线被等腰直角三角形 截得的线段长为 ,请直接写出 与 的关系式.
如图,在平面直角坐标系 中,抛物线 过点 , ,点 为第二象限抛物线上一点,连接 , , ,其中 与 轴交于点 ,且 .
(1)求点 坐标;
(2)点 为线段 上一动点 不与 , 重合),过点 作平行于 轴的直线 与 的边分别交于 , 两点,将 沿直线 翻折得到△ ,设四边形 的面积为 ,在点 移动过程中,求 与 的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,若 ,请写出所有满足条件的 值.
如图,点 为以 为直径的半圆的圆心,点 , 在直径 上,点 , 在 上,四边形 为正方形,点 在 上运动(点 与点 , 不重合),连接 并延长交 的延长线于点 ,连接 交 于点 ,连接 .
(1)求 的值;
(2)求 的值;
(3)令 , ,直径 , 是常数),求 关于 的函数解析式,并指明自变量 的取值范围.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过坐标原点,与 轴正半轴交于点 ,点 是抛物线上一动点.
(1)如图1,当 , ,且 时,
①求点 的坐标;
②若点 , 在该抛物线上,连接 , , 是线段 上一动点(点 与点 , 不重合),过点 作 ,交 轴于点 ,线段 与 是否相等?请说明理由;
(2)如图2,该抛物线的对称轴交 轴于点 ,点 在对称轴上,当 , ,且直线 交 轴的负半轴于点 时,过点 作 轴的垂线,交直线 于点 , 为 轴上一点,点 的坐标为 ,连接 .若 ,求证:射线 平分 .
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过坐标原点,与 轴正半轴交于点 ,点 是抛物线上一动点.
(1)如图1,当 , ,且 时,
①求点 的坐标;
②若点 , 在该抛物线上,连接 , , 是线段 上一动点(点 与点 , 不重合),过点 作 ,交 轴于点 ,线段 与 是否相等?请说明理由;
(2)如图2,该抛物线的对称轴交 轴于点 ,点 在对称轴上,当 , ,且直线 交 轴的负半轴于点 时,过点 作 轴的垂线,交直线 于点 , 为 轴上一点,点 的坐标为 ,连接 .若 ,求证:射线 平分 .
已知抛物线 与 轴只有一个公共点.
(1)若抛物线过点 ,求 的最小值;
(2)已知点 , , 中恰有两点在抛物线上.
①求抛物线的解析式;
②设直线 与抛物线交于 , 两点,点 在直线 上,且 ,过点 且与 轴垂直的直线分别交抛物线和 于点 , .求证: 与 的面积相等.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 与坐标轴交于 , 两点,直线 交 轴于点 .点 为直线 下方抛物线上一动点,过点 作 轴的垂线,垂足为 , 分别交直线 , 于点 , .
(1)求抛物线 的表达式;
(2)当 时,连接 ,求 的面积;
(3)① 是 轴上一点,当四边形 是矩形时,求点 的坐标;
②在①的条件下,第一象限有一动点 ,满足 ,求 周长的最小值.
如图,已知正方形 ,点 是 边上一点,将 沿直线 折叠,点 落在 处,连接 并延长,与 的平分线相交于点 ,与 , 分别相交于点 , ,连接 .
(1)求证: ;
(2)若 , ,求点 到直线 的距离;
(3)当点 在 边上(端点除外)运动时, 的大小是否变化?为什么?
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与 轴分别交于 、 两点,与 轴交于点 ,抛物线的顶点坐标为 ,连结 、 、 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)判断 的形状,并说明理由;
(3)如图2,以 为圆心, 为半径作 ,在 上是否存在点 ,使得 的值最小,若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
如图,在菱形 中, 是锐角, 是 边上的动点,将射线 绕点 按逆时针方向旋转,交直线 于点 .
(1)当 , 时,
①求证: ;
②连结 , ,若 ,求 的值;
(2)当 时,延长 交射线 于点 ,延长 交射线 于点 ,连结 , ,若 , ,则当 为何值时, 是等腰三角形.
如图, 是半径为3的 的一条弦, ,点 是 上的一个动点(不与点 , 重合),以 , , 为顶点作 .
(1)如图2,若点 是劣弧 的中点.
①求证: 是菱形;
②求 的面积.
(2)若点 运动到优弧 上,且 有一边与 相切.
①求 的长;
②写出 对角线所夹锐角的正切值.
试题篮
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