已知抛物线 与 轴相交于 , 两点,与 轴交于点 ,点 是 轴上的动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若 ,过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ,交直线 于点 .过点 作 于点 ,当 为何值时, ;
(3)如图2,将直线 绕点 顺时针旋转,它恰好经过线段 的中点,然后将它向上平移 个单位长度,得到直线 .
① ;
②当点 关于直线 的对称点 落在抛物线上时,求点 的坐标.
在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为"雁点".例如 , 都是"雁点".
(1)求函数 图象上的"雁点"坐标;
(2)若抛物线 上有且只有一个"雁点" ,该抛物线与 轴交于 、 两点(点 在点 的左侧).当 时.
①求 的取值范围;
②求 的度数;
(3)如图,抛物线 与 轴交于 、 两点(点 在点 的左侧), 是抛物线 上一点,连接 ,以点 为直角顶点,构造等腰 ,是否存在点 ,使点 恰好为"雁点"?若存在,求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图1,在 中, , 是 边上的一点, 为 的中点,过点 作 的平行线交 的延长线于 ,且 ,连接 .
(1)求证: ;
(2)在图1中 上取一点 ,使 ,作 关于边 的对称点 ,连接 、 、 、 、 得图2.
①求证: ;
②设 与 相交于点 ,求证: , .
如图,在 中,点 为斜边 上一动点,将 沿直线 折叠,使得点 的对应点为 ,连接 , , , .
(1)如图①,若 ,证明: .
(2)如图②,若 , ,求 的值.
(3)如图③,若 ,是否存在点 ,使得 .若存在,求此时 的值;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,四边形 为正方形,点 , 在 轴上,抛物线 经过点 , 两点,且与直线 交于另一点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2) 为抛物线对称轴上一点, 为平面直角坐标系中的一点,是否存在以点 , , , 为顶点的四边形是以 为边的菱形.若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 为 轴上一点,过点 作抛物线对称轴的垂线,垂足为 ,连接 , ,探究 是否存在最小值.若存在,请求出这个最小值及点 的坐标;若不存在,请说明理由.
在平面直角坐标系中,抛物线 为常数)的顶点为 .
(1)当 时,点 的坐标是 ,抛物线与 轴交点的坐标是 ;
(2)若点 在第一象限,且 ,求此抛物线所对应的二次函数的表达式,并写出函数值 随 的增大而减小时 的取值范围;
(3)当 时,若函数 的最小值为3,求 的值;
(4)分别过点 、 作 轴的垂线,交抛物线的对称轴于点 、 .当抛物线 与四边形 的边有两个交点时,将这两个交点分别记为点 、点 ,且点 的纵坐标大于点 的纵坐标.若点 到 轴的距离与点 到 轴的距离相等,直接写出 的值.
已知二次函数 .
(1)若 , ,求方程 的根的判别式的值;
(2)如图所示,该二次函数的图象与 轴交于点 , 、 , ,且 ,与 轴的负半轴交于点 ,点 在线段 上,连接 、 ,满足 , .
①求证: ;
②连接 ,过点 作 于点 ,点 在 轴的负半轴上,连接 ,且 ,求 的值.
如图,点 为以 为直径的半圆的圆心,点 , 在直径 上,点 , 在 上,四边形 为正方形,点 在 上运动(点 与点 , 不重合),连接 并延长交 的延长线于点 ,连接 交 于点 ,连接 .
(1)求 的值;
(2)求 的值;
(3)令 , ,直径 , 是常数),求 关于 的函数解析式,并指明自变量 的取值范围.
如图,在平面直角坐标系中, 的边 在 轴上, ,且线段 的长是方程 的根,过点 作 轴,垂足为 , ,动点 以每秒1个单位长度的速度,从点 出发,沿线段 向点 运动,到达点 停止.过点 作 轴的垂线,垂足为 ,以 为边作正方形 ,点 在线段 上,设正方形 与 重叠部分的面积为 ,点 的运动时间为 秒.
(1)求点 的坐标;
(2)求 关于 的函数关系式,并写出自变量 的取值范围;
(3)当点 落在线段 上时,坐标平面内是否存在一点 ,使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图所示,四边形 为正方形,在 中, , , 的延长线与 的延长线交于点 ,点 、 、 在同一条直线上.
(1)求证: ;
(2)当 时,求 的值;
(3)当 , 时,求 的值.
如图,已知正方形 ,点 是 边上一点,将 沿直线 折叠,点 落在 处,连接 并延长,与 的平分线相交于点 ,与 , 分别相交于点 , ,连接 .
(1)求证: ;
(2)若 , ,求点 到直线 的距离;
(3)当点 在 边上(端点除外)运动时, 的大小是否变化?为什么?
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与 轴分别交于 、 两点,与 轴交于点 ,抛物线的顶点坐标为 ,连结 、 、 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)判断 的形状,并说明理由;
(3)如图2,以 为圆心, 为半径作 ,在 上是否存在点 ,使得 的值最小,若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
如图,在菱形 中, 是锐角, 是 边上的动点,将射线 绕点 按逆时针方向旋转,交直线 于点 .
(1)当 , 时,
①求证: ;
②连结 , ,若 ,求 的值;
(2)当 时,延长 交射线 于点 ,延长 交射线 于点 ,连结 , ,若 , ,则当 为何值时, 是等腰三角形.
如图, 是半径为3的 的一条弦, ,点 是 上的一个动点(不与点 , 重合),以 , , 为顶点作 .
(1)如图2,若点 是劣弧 的中点.
①求证: 是菱形;
②求 的面积.
(2)若点 运动到优弧 上,且 有一边与 相切.
①求 的长;
②写出 对角线所夹锐角的正切值.
试题篮
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