如图,抛物线 与 轴交于点 , ,与 轴交于点 ,已知 , 两点坐标分别是 , ,连接 , .
(1)求抛物线的表达式和 所在直线的表达式;
(2)将 沿 所在直线折叠,得到 ,点 的对应点 是否落在抛物线的对称轴上,若点 在对称轴上,请求出点 的坐标;若点 不在对称轴上,请说明理由;
(3)若点 是抛物线位于第三象限图象上的一动点,连接 交 于点 ,连接 , 的面积记为 , 的面积记为 ,求 的值最大时点 的坐标.
如图,直线 分别交 轴、 轴于点 , ,过点 的抛物线 与 轴的另一交点为 ,与 轴交于点 ,抛物线的对称轴 交 于点 ,连接 交 于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证: ;
(3) 为抛物线上的一动点,直线 交 于点 ,是否存在这样的点 ,使以 , , 为顶点的三角形与 相似?若存在,求点 的横坐标;若不存在,请说明理由.
(1)已知 , 如图①摆放,点 , , 在同一条直线上, , .连接 ,过点 作 ,垂足为点 ,直线 交 于点 .求证: .
(2)已知 , 如图②摆放, , .连接 , ,过点 作 ,垂足为点 ,直线 交 于点 .求 的值.
如图,在平面直角坐标系 中,抛物线 过点 , ,点 为第二象限抛物线上一点,连接 , , ,其中 与 轴交于点 ,且 .
(1)求点 坐标;
(2)点 为线段 上一动点 不与 , 重合),过点 作平行于 轴的直线 与 的边分别交于 , 两点,将 沿直线 翻折得到△ ,设四边形 的面积为 ,在点 移动过程中,求 与 的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,若 ,请写出所有满足条件的 值.
如图,在平面直角坐标系 中,抛物线 与 轴相交于 , 两点,顶点 的坐标为 .点 为抛物线上一动点,连接 , ,过点 的直线与抛物线交于另一点 .
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点 的横坐标与纵坐标相等, ,且点 位于 轴上方,求点 的坐标;
(3)若点 的横坐标为 , ,请用含 的代数式表示点 的横坐标,并求出当 时,点 的横坐标的取值范围.
如图,在四边形 中, , , , 是对角线 的中点,联结 并延长交边 或边 于点 .
(1)当点 在 上,
①求证: ;
②若 ,求 的值;
(2)若 , ,求 的长.
已知二次函数 的图象开口向上,且经过点 , .
(1)求 的值(用含 的代数式表示);
(2)若二次函数 在 时, 的最大值为1,求 的值;
(3)将线段 向右平移2个单位得到线段 .若线段 与抛物线 仅有一个交点,求 的取值范围.
问题提出
(1)如图1,在 中, , , , 是 的中点,点 在 上,且 ,求四边形 的面积.(结果保留根号)
问题解决
(2)某市进行河滩治理,优化美化人居生态环境.如图2所示,现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园 .按设计要求,要在五边形河畔公园 内挖一个四边形人工湖 ,使点 、 、 、 分别在边 、 、 、 上,且满足 , .已知五边形 中, , , , , .为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要,想让人工湖面积尽可能小.请问,是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 ?若存在,求四边形 面积的最小值及这时点 到点 的距离;若不存在,请说明理由.
如图,已知抛物线 与 轴交于点 和 ,与 轴交于点 ,对称轴为直线 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点 是线段 上的一个动点(不与点 , 重合),过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ,连接 ,当线段 长度最大时,判断四边形 的形状并说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下, 是 的中点,过点 的直线与抛物线交于点 ,且 .在 轴上是否存在点 ,得 为等腰三角形?若存在,求点 的坐标;若不存在,请说明理由.
学习了图形的旋转之后,小明知道,将点 绕着某定点 顺时针旋转一定的角度 ,能得到一个新的点 ,经过进一步探究,小明发现,当上述点 在某函数图象上运动时,点 也随之运动,并且点 的运动轨迹能形成一个新的图形.
试根据下列各题中所给的定点 的坐标、角度 的大小来解决相关问题.
【初步感知】
如图1,设 , ,点 是一次函数 图象上的动点,已知该一次函数的图象经过点 .
(1)点 旋转后,得到的点 的坐标为 ;
(2)若点 的运动轨迹经过点 ,求原一次函数的表达式.
【深入感悟】
如图2,设 , ,点 是反比例函数 的图象上的动点,过点 作二、四象限角平分线的垂线,垂足为 ,求 的面积.
【灵活运用】
如图3,设 , ,点 是二次函数 图象上的动点,已知点 、 ,试探究 的面积是否有最小值?若有,求出该最小值;若没有,请说明理由.
课本再现
(1)在证明"三角形内角和定理"时,小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明,其中与 相等的角是 ;
类比迁移
(2)如图2,在四边形 中, 与 互余,小明发现四边形 中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合:先作 ,再过点 作 于点 ,连接 ,发现 , , 之间的数量关系是 ;
方法运用
(3)如图3,在四边形 中,连接 , ,点 是 两边垂直平分线的交点,连接 , .
①求证: ;
②连接 ,如图4,已知 , , ,求 的长(用含 , 的式子表示).
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与 轴分别交于 、 两点,与 轴交于点 ,抛物线的顶点坐标为 ,连结 、 、 .
(1)求抛物线的表达式;
(2)判断 的形状,并说明理由;
(3)如图2,以 为圆心, 为半径作 ,在 上是否存在点 ,使得 的值最小,若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.
如图,在菱形 中, 是锐角, 是 边上的动点,将射线 绕点 按逆时针方向旋转,交直线 于点 .
(1)当 , 时,
①求证: ;
②连结 , ,若 ,求 的值;
(2)当 时,延长 交射线 于点 ,延长 交射线 于点 ,连结 , ,若 , ,则当 为何值时, 是等腰三角形.
如图, 是半径为3的 的一条弦, ,点 是 上的一个动点(不与点 , 重合),以 , , 为顶点作 .
(1)如图2,若点 是劣弧 的中点.
①求证: 是菱形;
②求 的面积.
(2)若点 运动到优弧 上,且 有一边与 相切.
①求 的长;
②写出 对角线所夹锐角的正切值.
试题篮
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